學貴質疑有疑則進

崔恒劉

當代著名的計算數論專家卡爾，1944年出生于美國密蘇里州的喬普林。他于1972年獲得哈佛大學博士學位，博士論文中證明了任何奇完美數至少有7個不同的質因數，畢業后就職于喬治亞大學，并于1982年成為終身教授。他曾在多家學術機構和著名大學任職，榮獲多項國際數學大獎，出版過多部數學著作，發表學術論文近200篇，在國際數論研究領域有廣泛的影響。

卡爾曾回憶學生時代發生過的一件有趣的事情：上中學時，一次他去參加數學競賽，其中一道題是分解自然數8051。求解這種題的常規方法是大家熟悉的因數檢驗法， 然而他沒有使用一般的因數檢驗法，而是動腦筋，試圖發現8051的因數的簡單算法。但是在規定的時間內卡爾失敗了，因而與獲獎失之交臂。分解質因數是整數乘法的逆運算，實現這種反向任務有時異常艱難，而我們大家熟知的互聯網安全正是建立在“分解出大整數的約數（通常是質數）是極其困難的問題”這一基礎上的。

事實上，8051存在簡單的分解方法：8051=8100-49=902-72=（90+7）（90-7）=97×83。

失利的卡爾并沒有放棄對問題的深入思考，他給自己提出了一個挑戰性的問題：一個能夠分解的整數是否一定是兩個整數的平方差？經過進一步的思考，卡爾得到一個數論上很有名的定理：每個奇合數必定能用平方差的方式分解為兩個大于1的整數之積。

證明：若c是奇合數，則必存在大于1的奇數m、n，使得c=mn。

當m=n時，c=m2-02，且m+0=m-0=m>1，結論成立;

當m≠n時，不妨設m>n，x=[m+n2]，y=[m-n2]，因為m、n均為奇數，所以x、y均為整數，且x+y=m>1，x-y=n>1，c=mn=（x+y）（x-y），結論成立;

綜合上述兩種情況，結論得證。

俄羅斯著名作家托爾斯泰說：為靈魂建一塊高地，才能俯視塵埃，從容自信，不流世俗。卡爾的故事告訴我們：在研究數學問題時一定要鍥而不舍，只要意志力堅強，多難的數學問題都是能搞清楚的;遇到難題時，做一次就能做明白的很少，能完整地記住它的更少，做一遍，隔一段時間再研究一遍，過一段時間再總結一遍，這樣三番五次地研究它，你將永遠記住它;如果一時受困于某個具體問題，要學會轉換思考的視角，敢于猜想，敢于提出問題，積極形成反思的意識;在學習時一定要善于動腦，多思考，凡事問一個“為什么”，養成探究問題、大膽質疑的習慣，所謂“學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進”。

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學教育集團中心校區）