從“著名的反例”說起

葛松

公元1640年，法國著名數學家費馬發現220+1=3，221+1=5，222+1=17，223+1=257，224+1=65537……而3、5、17、257、65537都是質數，于是費馬猜想：對于一切自然數n，22n+1都是質數。可是，到了1732年，數學家歐拉發現：225+1=4294967297=641×6700417。這說明225+1是一個合數，從而否定了費馬的猜想。

數學中，判斷一件事情的句子叫作命題。命題有真假之分，假命題的“分辨”與真命題的“證明”是有套路的。

一、假命題的分辨

一個命題是由條件和結論兩部分構成的，當條件成立，而結論不成立時，這樣的命題就叫作假命題。判斷一個命題是假命題，其實只需舉反例就可以。所謂舉反例，就是列舉出符合命題的條件，卻不符合命題的結論的例子。這樣的例子哪怕有一個存在，就足以認定命題是假命題。

例1 下列命題哪些是真命題哪些是假命題？為什么？

（1）如果a2>b2，那么a>b。

（2）兩個銳角的和是鈍角。

（3）一個角的兩邊與另一個角的兩邊平行，這兩個角相等。

【解析】（1）（2）（3）都是假命題。

（1）這個命題的條件是a2>b2，結論是a>b。舉出反例：a=-3，b=1，它符合命題的條件a2>b2，但是不符合命題的結論a>b。所以這個命題是假命題。

（2）這個命題的條件是兩個角是銳角，結論是這兩個角的和是鈍角。舉出反例：一個銳角的度數是30°，另一個銳角的度數是45°，它符合命題的條件——兩個角是銳角，但是不符合命題的結論——這兩個角的和是鈍角。所以這個命題是假命題。

（3）這個命題的條件是一個角的兩邊與另一個角的兩邊平行，結論是這兩個角相等。這題可以借助于圖形舉出反例，如圖：

它符合命題的條件——一個角的兩邊與另一個角的兩邊平行，但是不符合命題的結論——這兩個角相等。所以這個命題是假命題。

二、真命題的證明

當命題的條件成立，結論成立，這樣的命題就叫作真命題。要想證明一個命題是真命題也有一定的套路。證明的一般步驟如下：

1.根據題意，作出圖形;

2.根據題設、結論，結合圖形，寫出已知……，求證……;

3.寫出證明過程。

例2 證明“有兩個角互余的三角形是直角三角形”。

【解析】已知：如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°。

求證：△ABC是直角三角形。

證明過程：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形內角和等于180°），

∴∠C=180°-∠A-∠B（等式性質），

∵∠A+∠B=90°（已知），

∴∠C=180°-90°=90°（等量代換），

∴△ABC是直角三角形（直角三角形定義）。

（作者單位：江蘇省泗陽縣開發區初級中學）