多角度回顧“逆命題”

傅成紅

我們知道命題是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的，如果把一個(gè)命題的條件和結(jié)論交換位置，就得到了這個(gè)命題的逆命題。所有命題都有逆命題。那么逆命題到底有哪些本質(zhì)呢？下面我們從逆命題的“概念”“表達(dá)”“判斷”三個(gè)角度去揭示它的本質(zhì)。

一、對逆命題概念的深度認(rèn)識(shí)

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題，其中一個(gè)命題是另外一個(gè)命題的逆命題。簡單地說，判斷兩個(gè)命題是不是互逆命題，就看兩個(gè)命題的條件和結(jié)論是否互換。

例1 下列各組命題是不是互逆命題？

（1）長方形的4個(gè)角都是直角。

4個(gè)角都是直角的四邊形是長方形。

（2）如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么這個(gè)數(shù)也能被4整除。

如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么這個(gè)數(shù)也能被2整除。

（3）同位角相等。

如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是同位角。

（4）平行于同一條直線的兩條直線平行。

不平行于同一條直線的兩條直線不平行。

【分析】判斷兩個(gè)命題是不是互逆命題就看兩個(gè)命題的條件和結(jié)論是否互換。所以（1）（2）（3）是互逆命題，（4）不是互逆命題。

二、如何表達(dá)出一個(gè)命題的逆命題

命題是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的，要想表達(dá)出一個(gè)命題的逆命題，關(guān)鍵是找到這個(gè)命題的條件和結(jié)論，然后交換位置即可。

例2 表達(dá)出下列命題的逆命題：

（1）如果ab>0，那么a>0，b>0;

（2）對頂角相等;

（3）等角的補(bǔ)角相等;

（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

【分析】要想表達(dá)出一個(gè)命題的逆命題，關(guān)鍵是找到這個(gè)命題的條件和結(jié)論，然后交換位置。

（1）條件：ab>0，結(jié)論：a>0，b>0。

對于（2）（3）（4）來說，命題的條件和結(jié)論不夠明晰，先將它們寫成“如果……，那么……”的形式。所以（2）（3）（4）可以寫成：

（2）如果兩個(gè)角是對頂角，那么它們相等。

（3）如果兩個(gè)角相等，那么它們的補(bǔ)角相等。

（4）如果兩條直線被第三條直線所截，截得的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。

然后，找出它們的條件和結(jié)論。

（1）逆命題：如果a>0，b>0，那么ab>0。

（2）逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么它們是對頂角。

（3）逆命題：如果兩個(gè)角的補(bǔ)角相等，那么這兩個(gè)角相等。

（4）逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

三、原命題的真假與逆命題的真假關(guān)系

命題有真假之分，一個(gè)命題的真假和它的逆命題的真假是否有聯(lián)系呢？

[序號 命題 真假 1 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 真 2 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。 真 3 如果a2=b2，那么a=b。 假 4 如果a=b，那么a2=b2。 真 ]

仔細(xì)觀察表中的四個(gè)命題及它們的真假。

表格中（1）（2）是互逆命題，它們都是真命題;（3）（4）也是互逆命題，而（3）是假命題，（4）卻是真命題。所以一個(gè)命題的真假和它的逆命題的真假?zèng)]有聯(lián)系。

（作者單位：江蘇省泗陽縣致遠(yuǎn)中學(xué)）