基于數學建模核心素養下的《獨立重復試驗與二項分布》的教學設計

□徐夢園 張 通 趙寶江

一、教材分析

本節教學內容來自人教A版選修2～3的第2.2.3節《獨立重復試驗與二項分布》，是在學生已經掌握了概率和統計的相關知識后，如二項式定理、離散型隨機變量、兩點分布以及分布列等有關內容后對概率的更深層的研究。二項分布模型是被廣泛應用的概率模型，大量的隨機變量都服從二項分布。二項分布的學習是從生活實際入手，利用抽象思維，建立數學模型，運用數學思想、方法和知識解決實際問題，數學建模是培養學生數學建模核心素養的重要方法。本節知識不僅是對前面所學內容的綜合應用，還體現了數學模型的構建過程。本節課的學習對學生后續的數學及相關學科的學習與研究有深遠的影響。

本節課的內容面向高二學生，雖然學生具有一定的抽象思維能力，但是從實際問題中抽象出數學模型，對于大多數學生來說還是困難的，基于以上分析，制定出本節教學的重難點。教學重點包括能理解n次獨立重復試驗的內容及二項分布的模型，并能解答一些簡單的實際問題，而計算與n次獨立重復試驗及二項分布相關的問題并理解二項分布模型的構建過程是本節教學設計的難點。

本節教學設計主要有三個教學目標：在知識方面，學生能理解n次獨立重復試驗的概念，體會二項分布模型的形成過程，并能解決簡單的實際問題；在能力方面，能夠進行與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關的概率的計算；在情感方面，學生可以體會數學建模過程，并發展數學建模核心素養。圍繞教學目標，設計出以下的教學思路。

二、教學設計思路

(一)精心設計導入環節，內容編排循序漸進。在課前已經發放了關于本節課的導學案，本導學案由教學重點、難點、概念填空、探究問題、典例講解以及易考點組成，學生可以將導學案作為數學筆記,對問題進行解析與標注，有助于理清本節數學知識的脈絡,并對題型有準確的定位。

(二)引導學生探究發現，并建構相關數學概念。通過學生的分析與探討可以得到，以上的各類實驗有以下幾個共同點：一是都包含了n個相同的試驗；二是每次試驗之間相互獨立，不影響彼此；三是每次試驗只有兩種可能的結果，如種子發芽與不發芽；四是每次出現“是”的概率相同，“不是”的概率也相同，實驗結果可以計數。以上結果為學生整理所得，學生從具體實例中抽象出獨立重復試驗的概念，并通過抽象概括去認識新的數學概念。此外，本概念教學還采用了“歸納式”的方法，讓學生體驗概念的形成過程，并在建構概念的過程中有效地促進學生思維的發展，培養學生觀察、分析、總結、歸納的能力。

(三)激發學生學習興趣，加深學生對概念的理解。教師對學生總結的內容進行整理，規范n次獨立重復試驗的定義。教師需強調在定義中所提及的“在相同的條件下”等價于各次實驗間的結果不會受其他實驗結果影響，并且每次試驗的結果只有兩種，兩種結果發生概率的和為1。即滿足獨立重復試驗要需要具有以下四點特征：第一，每次試驗是在相同的條件下進行；第二，各次試驗中的事件互不影響，相互獨立；第三，每次實驗的結果僅有兩種，即事件成功或失??；第四，每次實驗中某事件發生的概率不變。

在給概念劃完重點后，此時的學生具有強烈的求知欲，注意力高度集中,正等待著解決下一個問題。教師此時順水推舟拋出問題2：投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p。連續擲一枚圖釘3次,僅出現一次針尖向上的概率是多少？出現k(k=0,1,2,3)次針尖向上的概率是多少？能發現其中的規律嗎？能給出一個統一的公式嗎？

(四)尊重學生間差異，發揮小組合作討論的作用。給學生充分的時間進行小組討論，計算出結果的小組派一名組員上臺為大家講解，結束之后請其他同學進行補充或步驟糾錯。

通過解決問題2,學生在教師的引導下,以問題為載體，體會由具體到抽象、由特殊到一般的二項分布模型的建模過程。在課堂上，學生不斷地進行分析與整理，將數學知識進行內化。并將抽象的計數問題轉譯為與之等價的數學模型，可以發現恰當地運用模型方法有利于計數問題的解決。教師在本節課堂上主要起引導作用，適時地對學生的答案予以補充，并進行最后的整理與總結。

(五)圍繞數學建模核心素養，建立二項分布模型。教師將學生對問題2的講解，進行以下整理，用Bk(k=0,1,2,3)表示事件“連續擲一枚圖釘3次，出現k次針尖向上”。通過學生的討論與計算，可以得到：

P(B3)=P(A1A2A3)=p3.

觀察上述等式，易得

k表示事件B發生的次數，設每次實驗中事件B發生的概率為p。

通過對問題二的分析與思考，引出本節課的教學難點，二項分布的概念與模型。一般地,在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次實驗中事件A發生的概率為p，則：

此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n,p),并稱p為成功概率。

在得到二項分布的概念后，利用新的探究問題3讓學生思考，上述公式與二項式定理的公式有什么共同點，它們之間存在什么聯系。本問題的設計一方面引導學生深度探究二項分布模型，另一方面復習之前所學習的二項式定理，在對二項式定理以及兩點分布的內容進行鞏固的過程中，發現二項分布中的公式是二項式定理中展開式的某一項，以及兩點分布是特殊的二項分布ξ～B(1,p)。

以上的教學設計，由難易程度不同的問題串組成。堅持將教學內容設計成符合課程要求和學生實際情況的原則，并具有一定的啟發性，利用以問題為主線的教學方法。

為進一步鞏固新知,并向學生展示二次分布模型的適用情況，教師從課本中選取一道緊扣教學重點的例題,某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中一是恰有8次擊中的概率；二是至少有8次擊中的概率。(結果保留兩位有效數字)。

眾所周知，數學作為一門基礎性學科,在學習的過程中,對示范性例題的依賴性,相比于其他學科可能更大。教師在該題的教學中,除了闡述題目自身解法,還要讓學生在理解題目解法的同時，能反思產生解題想法的根源。

教師在進行課堂練習鞏固時，分別設置基礎訓練、變式訓練以及實踐創新三個層次的訓練題，即模型的直接應用、變形應用和實際應用，而且教師從學生實際出發,既將學情放在首位,又將基礎要求同特殊要求結合起來。

(七)指導學生課堂總結，提升數學建模素養。在課堂的最后，教師引導學生進行課堂總結，回顧獨立重復試驗的概念及其成立的要求，強調二項分布模型的應用范圍為獨立重復試驗。二項分布這一重要的概率模型,可以解決實際問題，二項分布模型還與二項式定理和兩點分布存在重要聯系。通過本節學習內容，讓學生體會到數學知識從生活實際出發,可以解決實際問題。

三、結語

教師在進行本節內容的教學設計時，根據學生的生理和心理特征,充分發揮學生的自主性和創造性,尊重學生對新知的獨特認識，對學生的求異和求新給予一定的指導與肯定。在學習過程積極體現學生的創新精神的，并滲透數學建模核心素養。本節設計以新課程改革的理念為指導，始終遵循著教學內容要符合學生的認知規律，在教學過程中，堅持以學生為主體的教學思想，并采取循序漸進的教學原則，在教學過程中運用引導發現法和分析討論法相結合的教學方法。在課堂上，通過設問、啟發、適時點撥、總結以及講練結合的方法，積極調動學生的思維活動，使學生在教師的引導下層層遞進地展開學習活動，并讓學生大膽參與課堂教學。在具體情境中，讓學生體會兩個事件相互獨立的概念，理解二項分布模型的應用背景以及掌握n次獨立重復試驗的概念，并能利用所學的理論知識解決簡單的現實問題，進而深度剖析概率的本質。