數形結合在數學中的應用

□王永超

本文主要對數形結合的主要內容和作用加以分析,通過實際考察與學習、觀察發現,有很多學生對應用數形結合非常陌生,還有部分同學知道數形結合,但不知道什么樣的題型適合用數形結合，所以在這里進行詳細說明。數形結合不僅是一種技巧,更是借助數學的精確性來闡明圖形圖象的某些特性。本文介紹了一些數形結合在數學中的應用,通過對具體應用的分析,加深讀者對數形結合的印象。

一、在函數中的應用

函數是高中數學的一大教學板塊[2],函數知識的抽象性非常高,學生在理解和掌握過程中都會遇到一些問題。這時候用數形結合幫助學生,結合形象的圖形來理解函數知識,學生就會非常輕松地理解,并且更快地理解題意。

例1，如下圖函數y=f(x)和y=g(x)的圖像所示:下列選項( )，最可能是函數y=g(x)·f(x)的圖像。

分析 ∵有圖像可知函數y=g(x)·f(x)的定義域圖像不經過點(0,0),

∴能夠排除C,D兩個選項

∵當x為非常小的正數時,f(x)>0且g(x)<0

(兩數相乘“同號為正,異號為負”)

∴g(x)·f(x)<0

故選A選項。

二、在不等式中的應用

在解決不等式問題時,有很多方法,其中有一種方法就是利用數形結合,巧妙地處理無法直接計算的數量,將不等式所表達的抽象數量關系通過畫圖直觀地表達出來,從而使原問題簡單化。

例2，對不等式|x+a|+|x|<2求解(其中a為實參數)。

解 把原不等式變形為|x+a|<2-|x|

在坐標片面上作函數y=|x+a|,y=2-|x|的圖像,前者是以(-a,0)為端點,斜率為±1的向上的兩組平行射線；后者是以(0,2)為端點,斜率為±1的向下的兩條射線(如圖1所示)。

圖1

設A(xA,yA),B(xB,yB)分別為上述兩函數圖像的交點,且xA>xB容易求得

從函數的圖像可知,當a≤2或a≥2時,原不等式無解；

當-2

三、在線性規劃中的應用

線性規劃在數學中扮演著重要的角色,這里對簡單的線性規劃問題進行討論分析,可以從中非常清晰地看出數形結合的重要性。

解 如圖將以下直線x-3y+2=0,x+2y-8=0,x=1,在平面直角坐標系中表示出來.通過觀察,圖中的陰影部分符合題意,并且原點(0,0)不屬于圖中的陰影部分,只有當x=0,y=0時,z=x+y=0,即點(0,0)在直線l0;x+y=0上。作一條平行l0的直線l:x+y=s,s∈R,由圖2可知,當l在l0的右上方時,點(x,y)滿足題意,s隨直線l往右而變大。

圖2

由圖象可知,

當直線l通過點A(4,2)時,此時對應的s最大,

當直線l通過點B(1,1)時,此時對應的s最小,

所以,zmax=4+2=6,zmin=1+1=2

此題完全是利用圖象求解,通過畫函數圖象確定所選區域,再根據目標函數的圖象找到最大值。

四、在幾何問題中的應用

在處理幾何問題的時候,常常利用數形結合去處理有關問題[3],鉆研點、線、曲線的種種聯系以及相關性質,使二者緊密結合起來,讓數形結合的優勢得以充分體現,從而使問題得到合理的解決。

圖3

b2x2+(b2+5)y2=b2(b2+5),

聯立直線與橢圓方程消去y得

解決此類問題時要充分利用圖形和平面直角坐標系,使二者緊密結合起來,讓數形結合的優勢得以充分體現,從而使問題簡單化,并得到合理解決。

五、在概率論中的應用

概率在生活中很常用,在大學的概率論中也學習很多關于數形結合的知識,下面來看一下概率論中是如何實現數形結合的。

例5，甲乙兩人相互商定在下午6時到7時之間在該地方見面,并約定先到達的人應等待后到達的人20min,超過時間即可先行離去.求兩人能見面的概率[5]。

解 用x表示甲,用y表示乙兩人到達約會地點的時間(以min為單位),在平面上建立xOy直角坐標系(如圖4所示)。

圖4

根據題意,先畫出圖形,再根據圖形的幾何意義找到對應的點以及函數,最后找到所求概率。本題的意義所在就是給出一個范圍,根據對應的范圍內求出想要的數的概率,也用圖象清晰地表明計算結果。

六、結語

本文通過對數形結合的了解,簡述了一些數形結合的運用方法,進一步了解了數形結合在數學中的地位及其重要性。總之,要充分挖掘有意義的內容,將數形結合滲透于具體的問題中,正確運用數形結合解決問題帶來了很多的方便,同時數形結合有利于提高思維的深刻性,讓思維更開闊,為以后其他方面的學習奠定基礎。數形結合與學習休戚相關,希望更多的人能重視數形結合[6]。