從平面向量的角度認識數學問題2392

李偉健

(安徽省滁州中學 239000)

文[1]提出了一個涉及三點共線的命題，本文探討的問題是：題設中的條件“點A、B、C、D在⊙O上”是否必要.首先選取平面向量的角度重新證明數學問題2392，在證明的過程中揭示條件“點A、B、C、D在⊙O上”是多余的.建立在這一判斷基礎之上，本文提出數學問題2392的修正命題.

數學問題2392如圖1，若PAB、PCD分別是⊙O的兩條割線，交⊙O于點A、B、C、D，AD與BC相交于點Q.若點M、N分別滿足四邊形MAQC、四邊形NBQD都是平行四邊形.證明：P、M、N三點共線.

圖1

證明因為P、C、D三點共線，

所以P、M、N三點共線.

通過上面的證明可以發現，數學問題2392中的條件“點A、B、C、D在⊙O上”與結論“P、M、N三點共線”無關，因此數學問題2392可以修正為如下命題，即：

數學問題2392修正命題如圖2，已知平面內四點A、B、C、D任意三點不共線，且AD與BC相交于點Q.若點M、N分別滿足四邊形MAQC、四邊形NBQD都是平行四邊形.那么P、M、N三點共線.

圖2

證明設直線AD與BC的無窮遠點分別為E、F，根據帕普斯線，AB×CD=P、AF×CE=M、BE×DF=N三點共線.

從上述證明可以發現：考察數學問題2392的結構特征，本質是帕普斯線定理.

[1]數學問題解答.數學問題2392 [J].數學通報，2017,56(11)：封底.