基于橢圓光學性質的兩個類包絡現象的發現之旅

邵俊杰 李金興

(1.北京郵電大學計算機學院 102206;2.浙江省蕭山中學 311201)

圓錐曲線作為中學解析幾何學習的重點，擁有悠久的歷史和眾多性質；其中圓錐曲線的光學性質極為特殊.人教A版教材介紹了光線經過圓錐曲線焦點時的光學性質；那么，那些不經過圓錐曲線焦點的光線又有何特性呢？

1 橢圓中的兩個類包絡現象

考慮到圓錐曲線中只有橢圓是封閉曲線，光會一直在內部反射，我們先對橢圓中的一般弦做出研究.根據初始光線與兩焦點連線段的三種關系：初始光線經過某焦點、初始光線與焦點連線段不相交、初始光線與焦點連線段相交但交點非焦點，分別討論光線的反射性質.

1.1 過橢圓焦點的光線性質

引理1設F1,F2分別是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意一點,則從F1發出的光線經過P點處橢圓反射后的反射光線經過點F2.

由此可見，如果初始光線沿過焦點的弦(非長軸)，則經過橢圓反射后會通過另一個焦點，不斷反射后交替地通過兩個焦點.

圖1

圖2

1.2 初始光線與橢圓兩焦點連線段不相交時的光學性質

為使證明過程簡潔，我們先來證明幾個引理.

引理3橢圓C以F1、F2為焦點，A、B為C上兩點，l1、l2分別為橢圓C在A、B點處的切線，F為l1與l2的交點，則∠AFF1=∠BFF2(如圖3).

圖3

圖4

由上述引理可得，當初始光線與橢圓焦點連線段不相交時有如下結論：

定理1如圖5，橢圓C1以F1、F2為兩焦點，橢圓C1的弦S1S2與線段F1F2不相交，從S1發出的光線S1S2經橢圓C1反射后反射光線為S2S3，則S1S2和S2S3均與另一個以F1、F2為焦點的橢圓C2相切.

圖5

圖6

于是可知，設橢圓C0內部初始光線所在直線為l0，經橢圓C0反射n次后的反射光線所在直線為ln.當l0與橢圓C0焦點連線段不相交時，由定理1得，可設l0與l1同與橢圓C1相切，l1與l2同與橢圓C2相切，……，ln與ln+1同與橢圓Cn+1相切…；其中C1，C2，…，Cn+1，…均與C0同焦點.因此C1，C2共焦點且與同一條直線l1相切，故C1，C2為同一個橢圓，記作橢圓C′；同理Cn,Cn+1共焦點且與同一條直線ln相切，故Cn,Cn+1也為同一個橢圓；不難得到，C1，C2，…，Cn+1，…均為橢圓C′；因此所有光線均與同一個橢圓C′相切.此性質類似于包絡，故稱橢圓C′為“包絡”橢圓.對于一般情況，如圖7所示，當光線經橢圓不斷反射無數多次后，光線將圍出一個橢圓(即C′)，但因為我們無法證明橢圓C′上的每一點都是光線與C′的切點，故不能嚴格證明這是一個包絡現象.對于更特殊的情況(如圖8)，光線還會形成回路.

圖7

圖8

1.3 初始光線與橢圓兩焦點連線段相交(交點非端點)時的光學性質

為證明方便，我們先介紹雙曲線焦點弦的光學性質.

引理4點P在以F1、F2為焦點的雙曲線上，從F2射出的光線經過P點雙曲線反射后的反射光線與從F1點射出經過P點的光線在同一條直線上.

圖9

至此我們便可以討論初始光線與橢圓兩焦點連線段相交時的光學性質了.

定理2如圖10，橢圓C以F1、F2為兩焦點，橢圓C的弦S1S2與線段F1F2相交(交點異于F1、F2)，從S1發出的光線S1S2經橢圓反射后反射光線為S2S3，則入射光線S1S2和反射光線S2S3所在直線均與一個以F1、F2為焦點的雙曲線C′相切.

圖10

圖11

于是可知，設橢圓C0內部初始光線所在直線為l0，經橢圓C0反射n次后的反射光線所在直線為ln.當l0與橢圓C0焦點連線段相交(交點非端點)時，由定理2得，可設l0與l1同與雙曲線C1相切、l1與l2同與雙曲線C2相切，…，ln與ln+1同與雙曲線Cn+1相切…；其中C1、C2，…,Cn+1，…均與C0同焦點.因此C1，C2共焦點且與同一條直線l1相切，故C1，C2為同一個雙曲線，記作雙曲線C′；同理Cn,Cn+1共焦點且與同一條直線ln相切，故Cn,Cn+1也為同一個雙曲線；不難得到，C1，C2，…,Cn+1，…均為雙曲線C′；因此所有光線均與同一個雙曲線C′相切.與之前結論一樣，這是一個類似于包絡的現象(我們無法嚴格證明)，故稱雙曲線C′為“包絡”雙曲線，對于一般情況，如圖12所示，當光線經橢圓不斷反射無數多次后，光線將圍出一個雙曲線(即C′).

圖12

2 拋物線中相應的結論與證明

參考橢圓中的不同情況，在拋物線中也對初始光線的位置分三種情況討論.

第一種情況：當光線經過拋物線焦點時，相關結論已廣為人知，下面給出一種證明.

定理3拋物線C以A為焦點，l為準線，點P為拋物線C上一點，從點A射出的光線經過點P處拋物線反射后的反射光線與l垂直.

在討論第二種情況前，先證如下引理：

引理6如圖13，在定理3中作點A關于點P處拋物線切線的對稱點A′，則A′在準線l上，且A′P⊥l.

圖13

證明過點P作準線l的垂線，垂足為點A″，由拋物線定義知|A″P|=|AP|，又由定理3知∠A″PT=∠γ=∠α，故可得點A″與點A′重合，故引理成立.

第二種情況：過拋物線焦點作準線的垂線段，當初始光線與該垂線段相交時，有如下光學性質：

定理4過拋物線C1的焦點F作準線l1的垂線段，拋物線弦S1S2與該垂線段相交，從S1發出的光線S1S2經拋物線反射后反射光線為S2S3，則入射光線S1S2與反射光線S2S3均與另一個以F為焦點，準線與l1平行的拋物線C2相切.

圖14

對于第三種情況：過拋物線焦點作準線的垂線段，當初始光線與該垂線段不相交時，得到如圖15所示的現象，無法得到良好的性質.

圖15

3 結語

通過探究我們發現，光線經雙曲線反射后很快發散(如圖16、圖17所示)，因此未能找到良好的性質.在橢圓中我們還企圖通過解析法對反射之后的坐標與方程進行研究，以觀察能否找到一些規律，以確定哪些特殊情況能夠使反射光線形成回路；很遺憾，通過Mathematica的計算結果來看，一次反射之后的坐標與方程已經過于復雜，難以找出規律，希望能通過后續的研究取得一些新的進展.此外，對橢圓中光線能否形成包絡現象？如果能夠形成包絡現象的話對初始光線有何限制條件？等問題都有待進一步的探究.

圖16

圖17