高一年級學生邏輯推理能力與數學學業成績的關系研究①

唐 舉 黃智華

(南京航空航天大學附屬高級中學 210007)

1 問題的提出

邏輯學中的推理是由一個/組判斷(前提)推出另一個判斷(結論)的思維形式.[1]數學推理能力，就是在數學活動中，通過想象、類比、歸納等方法尋求思路、提出猜想等，并對其進行嚴謹的邏輯證明的心理特征.從數學推理的思維方向來劃分，數學推理可以分為合情推理和演繹推理，其中合情推理又分為歸納推理和類比推理.數學課程標準(2017)指出，推理是數學的基本思維形式，也是人們學習和生活中經常使用的思維形式.[2]

已有研究證明邏輯推理能力與數學學業成績具有很大的相關性.如張潮對五個年級的674名中小學生分析比較發現：小學四年級是邏輯推理能力發展的一個值得關注的非常時期，不同學業成績(優中差)的中小學生邏輯推理能力存在顯著差異，邏輯推理能力與數學成績相關顯著，對中小學生的學業成績具有較高的預測性.[3]張軍翎的研究發現，不同學業成績中小學生的邏輯推理能力存在不平衡性差異，與學習優秀生相比，學習中等生的邏輯推理能力明顯落后，與學習中等生相比，學習困難生的邏輯推理能力顯著偏低；中小學生的邏輯推理能力無顯著性別差異；邏輯推理能力與數學成績顯著相關；邏輯推理能力對學業成績具有較高的預測性.[4]徐芬、李春花對初級中學7、8年級的4843名學生進行了調查研究，結論顯示推理能力直接對學業成績產生影響.[5]郭俊楠的研究論文得出的結論是：①高三年級的學生數學推理發展水平存在差異性，理科生比文科生強，男生比女生強；②合情推理與演繹推理能力發展不均衡，合情推理能力明顯比演繹推理能力要強；③高三年級學生對于合情推理和演繹推理的區分能力欠缺.[6]曾超則發現：①高二理科生的數學推理能力好于高二文科生；②高二男生的數學推理能力整體上優于高二女生；③高二學生的合情推理能力強于演繹推理能力；④高二學生在平面幾何、解析幾何、空間幾何三大問題的推理能力上表現較弱.[7]

從研究的對象來看，多數文章是研究小學至初中和高中各個年級層次，能夠較好地反映學生推理能力發展變化的規律性和發展性，但是，因為研究對象年齡跨度較大，導致研究方向不集中.兩篇研究生論文分別是專門針對高二和高三所做的研究，但是目前依然缺少針對高一年級的研究，而且兩篇文章的側重點是文理科之間和男女生之間的比較研究，并沒有重點研究邏輯推能力與數學學業成績的相互關系.所以本研究以邏輯推理能力與高一學生的數學學業成績的相關性為目標進行探討，從而為鍛煉邏輯推理能力以期提高數學學業成績提供實證依據.

2 研究方法

2.1 研究對象

選取南京市某四星級高中高一年級不同層次班級的325名學生作為被試.以班級為單位集體發放調查問卷，在統一指導語的基礎上，對被試進行團體測試，完成后當場收回，收回有效問卷308份，問卷有效收回率為94.8%(男生168人，女生140人，分別占總人數的54.5%和45.5%)；收集施測時被試所在學年的期中期末共三次大考的數學成績，先折合成百分制分數，以三次分數總和的平均數作為被試的數學學業成績.

2.2 研究工具

該量表為作者參考《當代教育心理學》、《數學學習心理學》并結合閩南師范大學的曾超的學位論文等有關資料后編制而成，問卷共有13題，第1—5題為演繹推理，第6—13題為合情推理，其中6，7，11，12，13題為歸納推理，8，9，10題為類比推理；為了更深入了解學生的推理能力情況，第5題中設置了問答題形式，問答結果不局限于某一固定答案，只要能說清道理即可.對測試數據的同質性信度進行分析，內部一致性系數即α系數為0.478，表明測試卷有比較高的信度.

2.3 統計方法

數據采用SPSS23.0 for windows進行處理和分析，先對調查問卷作了信度檢驗，然后采用相關分析、回歸分析和獨立樣本T檢驗對邏輯推理能力和數學學業成績進行分析和檢驗.

3 研究結果

3.1 高一年級邏輯推理能力與數學學業成績的相關性研究

為了證實邏輯推理能力對數學學業成績有影響的結論，也為了深入探討它對學業成績的影響程度，根據量表測試結果，我們計算了推理能力及其三個維度與數學成績之間的相關系數.

表1 相關性分析

**.在 0.01 級別(雙尾)，相關性顯著.

*.在 0.05 級別(雙尾)，相關性顯著.

經Pearson相關性分析，我們從上表可知，數學成績與推理總分呈現正相關關系，相比其他指標相關性最高，相關系數為0.225，p=0.000<0.01,具有統計學意義，表明邏輯推理能力與學業成績之間有密切聯系；在三個維度中，數學成績與演繹總分呈現正相關關系，相比其他指標，相關性較低，相關系數為0.129，p=0.024<0.05，具有統計學意義；數學成績與歸納總分呈現正相關關系，相關系數為0.144，p=0.011<0.05，具有統計學意義；數學成績與類比總分呈現正相關關系，且在三個維度中相關性最高，相關系數為0.175，p=0.002<0.05，具有統計學意義，表明類比能力與數學成績相關性最大.

3.2 回歸分析

以高一學生的推理成績作為自變量，各階段數學成績的均值作為因變量作回歸分析，如下：

表2 模型匯總

a. 預測變量: (常量), 推理成績c

表3 Anovab

a. 預測變量: (常量), 推理成績.b. 因變量: 均分

表4 系數a

a. 因變量: 均分

(1)在“模型匯總表”中，R是推理成績與成績均值的相關系數，R方是因變量均分的變異中被回歸方程解釋的比例，即學生的數學成績有4.2%是由推理能力引起的.

(2)在“方差分析表檢驗模型”中，p=0.000<0.05，表明回歸顯著，回歸方程具有良好的代表性.

(3)“回歸系數及檢驗表”反映了回歸系數和各系數的顯著性檢驗，p=0.000，p=0.000，表明推理能力對學生數學成績的影響顯著.

回歸模型的方程為：y=61.444+0.187x.

這個結果表明，高一年級學生的邏輯推理能力對數學學業成績有預測作用，邏輯推理能力對學業成績有直接的影響.

3.3 男女生邏輯推理能力的獨立樣本T檢驗

觀察“方差方程的Levene檢驗”中，Sig=0.323>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時選擇假設方差相等一行的數據作為檢驗結果，即觀察“均值方程的t 檢驗”Sig的值，此時Sig=0.447>0.05，這表示男生和女生在邏輯推理能力上沒有顯著性差異.

表5 獨立樣本檢驗

3.4 高一年級推理高分組和推理低分組的數學成績獨立樣本T檢驗

通過計算發現，高一年級推理成績的均值為38.8623，標準差為10.43908.按照學生的推理得分分組，高于均分加標準差的為高分組(A組)，低于均分減標準差的為低分組(B組)，然后將兩組的數學學習成績作t檢驗.

表6 獨立樣本檢驗

觀察“方差方程的Levene檢驗”中的Sig，Sig=0.939>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時選擇假設方差相等一行的數據作為檢驗結果，即觀察“均值方程的t 檢驗”Sig的值，而此時Sig=0.002<0.01，這表示高分組和低分組的學生在數學學習成績上有顯著性差異.

4 分析討論

測試結果顯示，高一學生的邏輯推理能力與學習成績密切相關，其中類比推理能力與數學成績的相關性最大，演繹推理能力與數學成績的相關性最小；邏輯推理得分的高分組與低分組在數學學業成績上差異顯著，因此，邏輯推理能力對數學學業成績具有明顯的預測作用.這個實驗結果與文獻梳理中的多數結果基本一致，對于高一年級來說具有一定的合理性.相比較初中而言，高中數學內容量大、概念抽象、解題技巧繁多，對學生的學習能力提出了更高的要求，而為了提高解題能力和效率，學生則需要提高自己的邏輯推理能力；演繹推理讓學生學會嚴謹地思考，歸納推理引導學生學會提煉和總結相同或相似類型的題目之間的規律，提高解題效率；類比方法則是學習數學最好的引路人，教會學生發現和探索.機械的模仿照搬已經不能適應高一數學學習，良好的邏輯推理能力是提高數學學習效率的必要保障.

測試結果很好地解釋了許多同學高一時數學學習一落千丈的學習現象，因為這一部分同學在初中階段注重具體方法的重復性訓練，而忽略了對方法相同但是問題呈現形式不同的問題的歸納總結，當條件稍作形式上的變化時，便想不到某種方法，這也是歸納能力不足在數學學習上的最直接體現；三道類比推理題目得分明顯偏低，反映出高一學生的類比能力嚴重不足，導致學生自學能力不夠，很多時候過度依賴老師，而且類比推理與數學成績的相關性最大，因此，有關類比的思維訓練亟待加強；演繹推理有具體的思維形式，但是當演繹推理的能力達到較高程度時，學生在使用它時所表現出來的是分析問題時的一種直覺，它會引導學生無意識地進行正確推理.

測試結果同時顯示男女生在邏輯推理能力分數上沒有顯著差異.這與郭俊楠、曾超的研究結果并不一致.究其原因，高一階段的數學內容相比初中數學雖然在難度上提高了一個很大的的臺階，但是各章節基本上是獨立和零散的，對學生融會貫通、歸納能力的要求尚低，高二已經學完高中新課的大部分內容，且高二階段所學的圓錐曲線、導數等章節內容難度較大，對學生的推理能力要求較高，到了高三，數學的難度更是層層加碼，男女生性別差別體現在邏輯推理能力上的差異愈加明顯.

5 結論

(1)邏輯推理能力與學業成績之間有密切聯系；(2)高一年級學生的邏輯推理能力對數學學業成績有預測作用，學生的數學成績有4.2%是由推理能力引起的，邏輯推理能力對學生數學成績的影響顯著;(3)相比較而言，演繹推理與數學成績的相關性最小，類比推理與數學成績的相關性最大；(4)男生和女生在邏輯推理能力上沒有顯著性差異；(5) 高一年級邏輯推理能力高分組和低分組的學生在數學學習成績上有顯著性差異.

(致謝：本研究是在喻平教授團隊的支持下完成的，特別感謝倪霞美和韓鈺穎兩名研究生在數據處理方面所做的工作)