數學問題2336題的簡解與推廣

呂永軍

(浙江省永康市第六中學 321300)

提出問題者劉才華老師在《數學通報》2017年第1期，利用三角函數進行證明，運算量較大.本文利用圓的定義與幾何性質及平面解析幾何方法，給出兩個較簡單的方法，并對此問題進行一些推廣.

方法一連接OQ，ON，因為MN是過點Q的⊙O的切線，所以OQ⊥MN，

由已知可知OB⊥PB，所以N，B，O，Q四點共圓，

所以∠NBQ=∠NOQ，

而∠NOQ=∠NOB，

得∠PBC=∠NOB，OB=PB，

所以BN=PC.同理MA=PD，

又因為PA=PB，則DN=CM，

方法二圓中問題還可以通過建立直角坐標系，通過解析方法來解決.

所以OA⊥OB，建立如圖所示坐標系，

設圓O的半徑為r，

所以A(0,-r)，

B(-r,0)，P(-r,-r)，

設Q(rcosα,rsinα)，

則直線MN：xcosα+ysinα=r，

所以|NB|=|PC|，

所以|PD|=|MA|，

所以|DN|=|CM|,

當然也可以用幾何方法證明.

推廣二：將問題中的圓改為橢圓，其它條件不變，結論是否仍成立呢？能否還可以得到其它結論？

則(1)|PC|·|MA|=|CM|·|PA|；

證明(1)P(-a,-b)，A(0,-b)，B(-a,0)，

設Q(acosα,bsinα)，

|PA|=a,

所以|PA|·|CM|=|PC|·|MA|.

(3) 由(2)可知成立.