數(shù)學(xué)“生成知識”教學(xué)怎么“教”
——以高一年級函數(shù)定義域教學(xué)為例

羅海霞

(江蘇省連云港中等專業(yè)學(xué)校 222000)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)的真正發(fā)生就是學(xué)習(xí)者在已有認(rèn)知經(jīng)驗基礎(chǔ)上生發(fā)出來的新的認(rèn)知過程.就是說要想發(fā)生學(xué)習(xí)，必須借助學(xué)習(xí)者的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，生成出新的認(rèn)知，才能使學(xué)習(xí)行為真正發(fā)生.這就是“生成知識”.然而，在實際中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，囿于教學(xué)時間的限制，而“生成知識”教學(xué)用時較長，許多教師往往回避使用，采用灌輸式教學(xué)，奉送定義，直拋結(jié)論，忽略定義、結(jié)論產(chǎn)生過程中所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.殊不知，這樣就隔斷了學(xué)生知識生長的過程，而只留下一個一個知識的片段.悟性高的學(xué)生或許能將這些片段進(jìn)行邏輯勾連，優(yōu)化自己的知識結(jié)構(gòu)；而更多的學(xué)生也許進(jìn)行了錯誤的勾連，形成了錯誤的認(rèn)知經(jīng)驗，為后續(xù)的學(xué)習(xí)帶來隱患.灌輸式教學(xué)看似節(jié)約了教學(xué)時間，實則漏掉了思維成長最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，得不償失.正所謂“磨刀不誤砍柴工”，學(xué)生一旦生成知識，許多方法或技巧就水到渠成，這也正是弗賴登塔爾所強(qiáng)調(diào)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)唯一正確的方法是知識再創(chuàng)造”[1]，為學(xué)生全面深刻地理解數(shù)學(xué)奠定扎實的基礎(chǔ)，形成自主解決問題的基石，從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力.這也正是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

1 數(shù)學(xué)生成知識的認(rèn)識

美國教學(xué)心理學(xué)家維特羅克吸收認(rèn)知建構(gòu)理論，將“生成”界定為“學(xué)生設(shè)置新模式和解釋，或者使用新模式或解釋，把新信息組織進(jìn)一個牢固的整體，這個整體會弄清楚這個信息，并且使之與他們的經(jīng)驗和認(rèn)知相一致”[2].生成過程就是對知識和經(jīng)驗積極建構(gòu).而促使“生成知識”形成的教學(xué)，就是“生成知識”的教學(xué).生成教學(xué)要求教師樹立動態(tài)、變化的教學(xué)學(xué)程觀，而不是剛性、封閉的教學(xué)設(shè)計觀.“生成知識”教學(xué)就是要幫助學(xué)生不斷地同化、順應(yīng)、衍生出新的認(rèn)知，拓寬認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而創(chuàng)生學(xué)習(xí)能力.因此，生成知識教學(xué)重“學(xué)”也重“教”，重“主體參與”也重“結(jié)果分析”.因為學(xué)習(xí)者在知識生成過程中面臨的“問題、困惑、疑難”，反映在教學(xué)層面上正是教學(xué)的目的、內(nèi)容、重點、難點.同時，“生成”包含從無到有的“過程性”，既包括“生”的起點，也包括“成”的結(jié)果，對結(jié)果的分析，可以優(yōu)化生成的過程.

生成教學(xué)是為了幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識、技能、思想、方法.數(shù)學(xué)知識分為顯性知識和隱性知識.顯性知識是指用書面文字、數(shù)學(xué)符號、圖標(biāo)直接表示的知識.隱性知識是指尚未被言語和其它形式表述出來的知識，包括數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等.隱性知識往往存在于顯性知識彼此間的關(guān)系、結(jié)構(gòu)和知識產(chǎn)生的過程中.對于數(shù)學(xué)知識的理解，在教育心理學(xué)層面，分為三個層次：工具性理解、關(guān)系性理解和形式化理解；在教學(xué)論層面，分為三個境界：知識的理解、知識的遷移和知識的創(chuàng)新.無論是理解顯性知識，還是隱性知識都有賴于學(xué)習(xí)者自身思維的參與、主動地建構(gòu)、不斷生成新的認(rèn)知才能實現(xiàn)，教師只能精心指導(dǎo)，耐心地“守望”學(xué)生新知的形成.因為生成知識具有“整合生成、自然生長、從無到有的創(chuàng)造、漸進(jìn)性、未竟性”的特點.即學(xué)習(xí)者運用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的因素，經(jīng)過認(rèn)知經(jīng)驗和問題的反復(fù)作用，遵循學(xué)科本身的邏輯結(jié)構(gòu)和發(fā)展規(guī)律，被學(xué)習(xí)者有意識的思維操作和信息加工，不是一次完成，而是很“自我”地、自然地、漸進(jìn)創(chuàng)造出來的知識，只有順應(yīng)學(xué)生的自有認(rèn)知經(jīng)驗，積極指導(dǎo)，耐心等待才能達(dá)到對知識的不斷提升的理解境界，即關(guān)系性理解，直至形式化理解，在實際解決問題的過程中能正向遷移知識，創(chuàng)造性地解決問題.

本文以高一第一冊函數(shù)概念中的函數(shù)定義域教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)生成知識教學(xué)的路徑.

2 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理解

“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的核心與邏輯起點，概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)”[3].概念教學(xué)離不開問題的導(dǎo)引，因為“問題是催生知識生成的認(rèn)知動力”.而問題解決是指個人面對問題時,引發(fā)認(rèn)知需要，在認(rèn)知需要的驅(qū)動和導(dǎo)向下，借助非認(rèn)知因素的作用，使思維沿著認(rèn)知需要的方向運行，由此不斷推動個體知識的生成.”[4]縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，問題解決往往催生新的數(shù)學(xué)概念.如“負(fù)數(shù)開方”問題的解決催生 “虛數(shù)”概念的誕生，對“無窮小量”是0還不是0問題的解決，催生了“極限”概念的誕生.概念形成過程常常就是問題解決的過程.

理查德·來什，瑪莎·蘭多，埃里克·漢密爾頓關(guān)于“概念模式”的理論研究認(rèn)為，概念包括四個部分.“第一，內(nèi)在關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，以及各種運算；第二，使各概念的內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)間形成聯(lián)系或聯(lián)結(jié)的概念體系；第三，表征系統(tǒng)(如文字符號、圖形等)；第四，模式加工系統(tǒng)，即使前三種成分起作用并隨時修正或改造這三種成分使其適合實際情境的一種動態(tài)機(jī)制.其中，第二、第四是概念的主要成分，第一和第三則需要建立在對第一、第三的充分理解的基礎(chǔ)之上.”[5]

為此，概念教學(xué)要努力圍繞這個模式的四個方面開展教學(xué)，具體在函數(shù)定義域教學(xué)中， 這不只需要教師針對數(shù)學(xué)的基本概念、原理和重要的思想方法, 從衍生性主題的設(shè)計、數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的把握、數(shù)學(xué)關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及問題結(jié)構(gòu)的明確等方面去創(chuàng)設(shè)問題情境, 捕捉生成資源，還需要在此基礎(chǔ)上對學(xué)生問題探究過程進(jìn)行引導(dǎo),促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的思維真正參與，因此，問題是心臟, 思考是主線， 更需要教師形成不斷反思問題情境中的生成資源，及時捕捉引導(dǎo)契機(jī).

函數(shù)概念的誕生經(jīng)歷了曲折、螺旋式抽象的過程.在高一數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)定義域的概念是和函數(shù)定義同時引出，屬于函數(shù)定義的一部分，往往在教學(xué)中也被一帶而過.教師往往只側(cè)重于求使函數(shù)解析式有意義的自變量范圍，忽略對函數(shù)的定義域的結(jié)構(gòu)性剖析.導(dǎo)致學(xué)生理解函數(shù)定義域時出現(xiàn)偏差、書寫不規(guī)范、對于抽象函數(shù)定義域的理解出現(xiàn)困難.究其原因，就是對函數(shù)定義域概念教學(xué)的忽視所致.華羅庚說過 ，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不害怕困難，也不要輕視容易.

3 生成知識教學(xué)的路徑

3.1 通過問題解決，生成概念的內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)和表征系統(tǒng)

概念教學(xué)中如何呈現(xiàn)概念形成的過程，暴露概念蘊(yùn)含的創(chuàng)造性思維，需要設(shè)計相應(yīng)的問題，通過對問題的解決，讓學(xué)生自然生成“概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和概念的表征系統(tǒng)”即概念的各組成要素及關(guān)系和概念的數(shù)學(xué)符號或圖形等表征系統(tǒng).因此，概念形成的教學(xué)中，問題的設(shè)計要突出概念的內(nèi)容側(cè)面，也要呈現(xiàn)其表征系統(tǒng).如在函數(shù)定義域教學(xué)中，不僅要厘清其自變量、因變量、對應(yīng)法則之間的內(nèi)在關(guān)系，還需厘清用集合表示定義域、值域的符號表征.

問題1“如果在函數(shù)y=f(x)中，已知x-1≤2，試問函數(shù)定義域是什么？”凸顯函數(shù)定義域指的是“自變量的變化范圍”的本質(zhì)， 引導(dǎo)學(xué)生“自得”函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍，及其在問題中的表述方式.

問題2“函數(shù)定義域為x≤3，這樣寫合不合適？”引導(dǎo)學(xué)生揣摩定義域的表征系統(tǒng).問題2凸顯利用具體的數(shù)學(xué)模型 (集合) 去代表特定的數(shù)學(xué)對象(定義域)這一概念教學(xué)中的重要過程，從中習(xí)得概念的形成離不開數(shù)學(xué)模型的表征(如文字、符號、圖形等). 問題1和問題2的設(shè)計暴露定義域概念中的內(nèi)在關(guān)系和數(shù)學(xué)表征，使學(xué)生完備對函數(shù)定義域概念的認(rèn)知.

的定義域.

至此，學(xué)生初步了解函數(shù)定義域的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、表征系統(tǒng)，也在認(rèn)知層面上理解求解定義域就是使得函數(shù)式子有意義的運算方法.初步完成了“概念模式”理論的第一層內(nèi)容和第三層內(nèi)容，即內(nèi)在關(guān)系網(wǎng)絡(luò)：對應(yīng)法則、定義域，以及關(guān)于定義域的運算、表征系統(tǒng)(用集合或區(qū)間的形式表征定義域).

3.2 顯化隱性知識，構(gòu)建概念的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系

隱性知識是指尚未被言語和其它形式表述出來的知識.顯化隱性知識就是從學(xué)生的視角出發(fā)，按照學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系如對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、同構(gòu)關(guān)系、相等關(guān)系、不等關(guān)系、包含關(guān)系，或數(shù)學(xué)對象所具有的思維活動賴以依存的條件，并將含有未知目標(biāo)x的數(shù)學(xué)關(guān)系 (S,x) 反映到一組較具體的數(shù)學(xué)關(guān)系 (或具體的未知關(guān)系) 和學(xué)生的相關(guān)現(xiàn)實背景中, 以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考, 教師的任務(wù)是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、運用、生成新知”[6]，即教師要將學(xué)生準(zhǔn)備學(xué)習(xí)的內(nèi)容借助已能掌握的知識“借殼生蛋”，即捕捉生成知識的資源，通過 生成知識資源作為生長點和分析問題的入手點，進(jìn)行點撥、引導(dǎo)，直至發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，生成解決問題的思路和方法.

3.3 利用特殊到一般，凸顯概念的內(nèi)在聯(lián)結(jié)

教學(xué)中通常采取一定的方法, 如一般到特殊、抽象到具體、變換法 (等價變換、不等價變換)、模型法等, 來發(fā)現(xiàn) “數(shù)學(xué)對象間可以確切的關(guān)系” .人們對于直觀、明確問題的理解易于對抽象、隱晦問題的理解.對抽象問題的理解一般都建立在對具體問題的理解的基礎(chǔ)之上.教學(xué)中，通過具體問題的設(shè)計，幫助學(xué)習(xí)者自然生成對抽象問題的認(rèn)知.

問題6已知函數(shù)f(2x)的定義域為[-1,1]，求f(x)的定義域.

學(xué)生對于已知條件 “f(2x)的定義域為[-1,1]”的理解包含兩個難點，導(dǎo)致學(xué)生無從下手.第一學(xué)生對于“f(2x)的定義域為[-1,1]”中的[-1,1]究竟是“x的范圍”還是“2x的范圍”有疑問；第二學(xué)生不太理解“2x與f間的約束關(guān)系”.第一個難點，在充分理解函數(shù)定義域概念的前提下容易解決.第二個難點，教師指導(dǎo)學(xué)生從第一個難點的突破入手.而對于特殊值呈現(xiàn)出的規(guī)律的認(rèn)知是進(jìn)行抽象認(rèn)知的基礎(chǔ)和出發(fā)點.

學(xué)生易于理解， “f能夠作用的范圍”是[-2,2]，“自得” -2≤2x≤2.

師：反思如何從條件出發(fā)得到該結(jié)果？

生：從題目條件出發(fā)，“f(2x)的定義域為[-1,1]”即-1≤x≤1，而f能夠作用的范圍是2x的范圍.故而易于得出 -2≤2x≤2，這正是使得f有意義的范圍,即f(x)的定義域.

3.4 應(yīng)勢利導(dǎo)，生成概念的動態(tài)機(jī)制

“在大多數(shù)數(shù)學(xué)家眼中，數(shù)學(xué)是對結(jié)構(gòu)的研究，數(shù)學(xué)內(nèi)容由許多結(jié)構(gòu)組成，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是生成結(jié)構(gòu)并運用結(jié)構(gòu)”[8]的動態(tài)過程，其中形成規(guī)律的方法或解決問題的范式就是動態(tài)機(jī)制.這正吻合了史寧中教授對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解, 即“用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)世界, 用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界, 用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)世界”[7],最終達(dá)到用數(shù)學(xué)的模型解釋世界.

問題7比較下列函數(shù)定義域和對應(yīng)法則的異同.

師： “x的范圍”即定義域是否一定就是“使得f有意義的作用范圍”？

至此，學(xué)生已經(jīng)洞若觀火.教師并未就此結(jié)束，給出了下面的問題:

問題8(在例4的條件基礎(chǔ)上變式)已知函數(shù)f(2x)的定義域為[-1,1],求f(x+1)的定義域,學(xué)生容易理解，x+1必須落在f的作用范圍內(nèi)，即-2≤x+1≤2，得出-1≤x≤1即f(x+1)的定義域為[-1,1].

至此學(xué)生構(gòu)建了換元法用以解決“整體化”問題， 最終體會整體化思想，為后續(xù)的換元法求值域、最值等問題奠定了正遷移的基礎(chǔ).

“數(shù)學(xué)概念的生成資源開發(fā)一般是在探究解題方法的過程中進(jìn)行，是例題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)”[9].引導(dǎo)學(xué)生反思定義域和“使得f有意義的作用范圍”之間的關(guān)系，并以此為依據(jù)解決問題，拓展了學(xué)生對函數(shù)定義域的二次理解.這個過程不是教師直接灌輸給學(xué)生，而是不斷地順勢利導(dǎo)，使得新的認(rèn)知水到渠成.教師順勢給出問題8，通過化歸思想的不斷應(yīng)用，學(xué)生可以順利接受換元法求解函數(shù)定義域問題的范式.這一范式在后續(xù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、最值等問題中還會經(jīng)常使用.換元法往往讓學(xué)生感到神秘.通過本題的不斷轉(zhuǎn)化，使學(xué)生領(lǐng)會到換元法純粹是為了方便研究較為復(fù)雜式子，將其作為整體采用的一種方法.這為學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中靈活應(yīng)用此法，提供了數(shù)學(xué)的思維策略.

4 結(jié)束語

教育是關(guān)乎學(xué)生未來發(fā)展的大計，數(shù)學(xué)教育不能太過功利.發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育應(yīng)一貫秉持的觀點.依據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗，不斷生成新的認(rèn)知，使學(xué)生體驗不斷豐富的數(shù)學(xué)認(rèn)知，感受思維成長的成就感和幸福感，從而不再畏懼?jǐn)?shù)學(xué)，也許這就是數(shù)學(xué)教育成功的表現(xiàn).