關注價值導向 突出知識本質體現思維廣度與深度 引導教學
——2019年中考數學(北京卷)試題解析

王亮亮

(北京教育考試院 100083)

1 引言

2019年中考數學試卷延續了2015-2018年“穩中有變，變中求新”的特點，在全面考查基礎知識的基礎之上，擴大選材范圍，突出對支撐學科體系重點知識的考查，關注價值導向，突出知識本質，體現思維廣度與深度.以考查數學思維為核心，注重知識整體性與知識之間內在聯系的考查，加強對數學知識形成與發展過程及靈活運用的考查.

試卷延續了“立德樹人，引導教學，服務學生發展”的理念.試卷選材大氣，將社會主義核心價值觀和數學之美自然地融入試題中，讓學生在解答過程中感受民族自豪感，體會數學之美.試題立意，以核心概念為抓手，以培養數學能力為目標，考查學生對知識本質的理解，從數學的角度思考問題和運用數學知識解決實際問題，讓學生在數學的學習中有獲得感，引導教學回歸知識本質，關注數學思維，做到學以致用.試題設問方式易于學生入手，層次分明，適度綜合，體現應用，讓不同水平的學生都有充分發揮的空間.

2 試題解析

2.1 關注育人功能 體現積極導向

數學試卷選取合適的素材，將社會主義核心價值觀自然融入到試題中，發揮試題的育人功能.如第21題，以國家創新指數排名為背景，著重考查學生讀取、分析數據，獲取信息的能力，讓學生感受到我國的創新發展水平以及中國創新在世界中的位置.同時，讓學生在數據分析與推斷的過程中，了解黨和國家提出“決勝全面建成小康社會”奮斗目標和“加快建設創新型國家”戰略任務的意義，體現出了國家創新在國家經濟發展中的重要地位.

2.2 關注四基要求 體現數學基礎

《義務教育數學課程標準(2011版)》指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.”試題的命制注重對數與代數、圖形與幾何、統計與概率等基礎知識的考查，在考查的過程中，突出對基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的考查.

例1在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(不與端點重合).對于任意矩形ABCD，下面四個結論中，

①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；

②存在無數個四邊形MNPQ是矩形；

③存在無數個四邊形MNPQ是菱形；

④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形.

所有正確結論的序號是____.

解析此題考查特殊平行四邊形(矩形、菱形和正方形)之間的關系.題目設計體現出了對知識掌握的整體性要求，不要把知識割裂開來看，而是從整體上看知識之間的聯系性，這樣才能深刻理解并掌握基礎知識.

例2已知銳角∠AOB.如圖，

(1)在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作PQ，交射線OB于點D，連接CD；

(2)分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點M，N；

(3)連接OM，MN.

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是

(A)∠COM=∠COD;

(B)若OM=MN，則∠AOB=20°;

(C)MN∥CD;

(D)MN=3CD.

解析題目設計延續了2018年試題的特點，不僅要讓學生掌握技能操作的程序和步驟，還要理解其中蘊含的數學原理，考查尺規作圖中的邏輯推理.

2.3 關注教學過程 體現數學本質

數學教學的重要目標之一是讓學生親身經歷數學知識形成、發展和應用的過程，積累數學活動經驗，理解知識本質，感悟數學思想.今年數學試題的設計關注數學學習的完整過程，將學生日常學習活動經驗濃縮于試題中，在學習過程中理解知識本質.

小騰根據學習函數的經驗，對線段PC，PD，AD的長度之間的關系進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整:

(1)對于點C在AB上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段PC，PD，AD的長度的幾組值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00

在PC，PD，AD的長度這三個量中，確定________的長度是自變量，________的長度和________的長度都是這個自變量的函數；

(2)在同一平面直角坐標系xOy中，畫出(1)中所確定的函數的圖象；

(3)結合函數圖象，解決問題：當PC=2PD時，AD的長度約為________cm.

解析試題以函數學習的全過程為背景，考查函數概念，學生在研究幾何圖形中的各元素之間關系的過程中，首先根據動點C的不同位置，經歷畫圖、測量、列表的過程，分析量與量之間的關系，判斷自變量和因變量，確定函數關系；再經歷描點和畫函數圖象的過程，探究變量之間的關系；最后利用建立的函數模型解決問題.引導教學關注積極地數學活動，關注知識本質，通過直觀地操作活動和多層次地思維活動，從感性認識上升到理性認識，并加深理性認識.通過此試題的設置，在引導教學關注數學活動的基礎上，引導教學更加關注函數的主線與本質.函數是研究運動與變化的數學模型，它來源于實際又服務于實際，緊密聯系實際，從實際中抽象出函數的有關概念，又運用函數解決實際問題，這是貫穿于函數的主線.對于函數的本質要把握好兩個實質：兩個變量互相聯系，對于自變量確定的每一個確定的值，對應的函數值都唯一確定.

2.4 關注思維品質 體現思維廣度與深度

數學思維是學生數學素養的重要體現，試題通過對數學思維的廣度與深度的考查，考查學生認識數學、理解數學、感悟數學的思維過程.

(1)依題意補全圖1；

(2)求證：∠OMP=∠OPN；

(3)點M關于點H的對稱點為Q，連接QP.寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON=QP，并證明.

圖1

備用圖

解析本題主要從運動與變化的角度，結合函數圖象，考查學生從特殊到一般、從直觀到抽象、從感性到理性的思維過程.如第27題，第一次設計探究條件型問題，學生需要探尋問題成立的條件，考查學生在經歷猜想、嘗試等數學活動中，發現、提出問題，分析、解決問題.試題關注學生在解決一個綜合性問題的過程中，既有操作、猜想發現和提出問題，又有演繹、證明分析和解決問題，考查學生的思維廣度與深度.另外，該題取材于課本中的基本圖形，通過從運動變化和圖形變換的角度進行再設計，挖掘了教材中知識的內在聯系，用綜合的方法把知識串在一起，發揮了教材促進學生思維發展的功能，同時豐富的試題背景，提供給學生多角度思考問題的機會，提供給學生展示自我的舞臺.試題難度設置適中，來源于教材，站位又高于教材，讓老師思考題目與教材試題的相互關系.

2.5 關注實踐能力 體現應用價值

現實生活中蘊含著大量與數量有關的問題，通過建立數學模型用數學的方法予以解決，體現了數學的應用價值.今年數學試卷擴大試題選材范圍，加強與學生生活實際的聯系，注重考查知識的運用和實踐，考查了學生做事能力.

例5小云想用7天的時間背誦若干首詩詞，背誦計劃如下：

①將詩詞分成4組，第i組有xi首，i=1，2，3，4；

②對于第i組詩詞，第i天背誦第一遍，第(i+1)天背誦第二遍，第(i+3)天背誦第三遍，三遍后完成背誦，其它天無需背誦，i=1，2，3，4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1組x1x1x1第2組x2x2x2第3組第4組x4x4x4

③每天最多背誦14首，最少背誦4首.

解答下列問題：

(1)填入x3補全上表；

(2)若x1=4，x2=3，x3=4，則x4的所有可能取值為________；

(3)7天后，小云背誦的詩詞最多為________首.

解析試題以背誦詩詞為背景，考查學生探求解決實際問題的最優方案的能力，體現學生運用所學知識分析解決實際問題的能力.

北京市中考數學學科的改革還在不斷地進行探索與完善之中，文章若有不妥之處，請批評指正.