大學視角下的中學數學(導數)

李尚志

(北京航空航天大學 100083)

例1(2017理科數學全國卷Ⅲ第21題)函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

解(1)f(1)=0.要使f(x)≥0在定義域(0,+∞)內成立，

(2)由(1)知道lnx≤x-1對x>0成立.

記t=x-1，則x=1+t.ln(1+t)≤t對t>-1成立.因此

因此m>2.只能m=3.

大學視角第(1)小題的做法是很常規的基本方法，得出的不等式

f(x)=x-1-lnx≥0,即lnx≤x-1(?x>0)

卻是攻克第(2)小題的關鍵.本題的第(1)小題不是為了為難學生，反而為了提示他們利用以上不等式得到

幫助做第(2)題.

不過，我一看到第(2)題首先想到的不是對數不等式lnx≤x-1,而是指數不等式ex≥1+x.直接得到

不需要借助對數繞圈子.

借題發揮 自然對數為什么最自然

我第一次見到e，是中學課本上講對數的最后一句話：“科學上通常用一個無理數e=2.71828…作為對數的底，叫做自然對數.”為什么不用最自然的10為底，偏要用一個無理數？當時覺得一點都不自然.

1.幸運斜率為何幸運

中學數學現在學了冪函數、指數函數、對數函數的導數公式，并且成為高考中必考內容.導數用來干什么？一個重要用途是判定函數的遞增、遞減、極值.還有一個簡單而重要的用途是求切線方程.

圖1

由圖看出：曲線y=lnx始終在切線y=x-1下方.始終有x-1≥lnx,x-1-lnx≥0.這正是例1第(1)小題的答案.如果y=alnx在點(1，0)的切線斜率a≠1,曲線y=alnx與直線y=x-1在點(1，0)相交而不相切，曲線在這點穿越直線y=x-1,不可能始終在直線y=x-1下方，不能保持x-1-alnx≥0.

將平面上所有的圖形關于直線y=x作軸對稱變換，則右下方的對數曲線y=lnx及其切線y=x-1翻轉到左上方的x=lny及其切線x=y-1，也就是變成指數曲線y=ex及其切線y=1+x，指數曲線始終在切線的上方，不等式ex≥1+x對所有實數x成立.

指數曲線y=ex在點(0，1)的切線斜率也可用指數函數f(x)=ex求導公式(ex)′=ex得到：f′(0)=e0=1，切線方程為y=1+x.

為什么對數曲線y=lnx在點(1，0)的切線斜率正好是1，指數曲線y=ex在(0，1)的切線斜率也正好是1？為什么如此幸運？

不是天上掉下來的幸運.是我們選擇了對數函數y=logax和指數函數y=ax的底a=e,才贏得了如此幸運.

我們來計算對數函數f(x)=logax在x=1的導數f′(1).

=logae,

要使f′(1)=logae=1,只能選a=e，得到的對數記為lnx,稱為自然對數，它在(1,0)的切線方程為y=x-1.

如果換成常用對數f(x)=lgx=log10x,則使f′(1)=lge≈0.43429,切線方程為y=0.43429x-1.你認為比y=x-1更自然嗎？

再來計算對數函數f(x)=logax在任意x>0的導數

再來計算指數函數y=f(x)=ax在x的導數

令u=at-1，則t=loga(1+u).當t→0時u→0，

因此

取a=e,則(ex)′=ex,f′(0)=e0=1，曲線y=ex在點(0,1)的切線方程為y=1+x.如圖1.

2.對數表怎樣編出來的

7640÷2784=10b÷10c=10b-c,

由x=10y算指數y就是求對數y=log10x,x叫做真數.以10為底的對數log10x簡記為lgx，稱為常用對數，需要編出對數表，由真數x查對數y=lgx.還需要反對數表由對數y=lgx查真數x=10y.

怎樣編對數表？算出10的正整數次冪10y=x.則y=lgx.例如

x110100y=lgx012

這個對數表基本上沒什么用：x值從1跳到10間隔太大，2，3，…，9全都沒有，更別說2.784，7.640了.怎么改進？假如能夠算出10的1萬次方根q=100.0001,將q的9999個正整數次冪λm(1≤m≤9999)插入1與10之間的大間隔，分割成10000個微小間隔.則lgq=0.0001，lg(qm)=0.0001m.這個對數表的精確度就很高了：

x1qq2…qm…q999910y=lgx00.00010.0002…0.0001m…0.99991

x=1.0001m11.00011.0002…2.718146…102.74436m012…10000…2302710096lgx≈m2302700.0000430.000087…0.43427…10.43844lnx≈m1000000.00010.0002…1…2.30271.0096

x2.783892.78417…3.58707…7.64001…10m1023910240…12774…20335…23027lgx0.444650.44470…0.55474…0.88309…1lnx1.02391.0240…1.2774…2.0335…2.3027

=lg7.640-lg2.784

=0．88309-0．44465=0．43844

?7640÷2784≈2．744．

=(3+0．88309)÷7=0．55473

簡而言之：用1．0001的冪編出的對數表中，當x=1．0001m，則

(1)冪指數m=log1.0001x是1．0001的對數．

3．三角函數的幸運斜率

代入得

答案：C．

例2看起來不涉及導數，其中關鍵的不等式sinx

什么是正弦和正切?如圖2．以角AOB的頂點O為圓心畫單位圓,弧AB的弧長x表示∠AOB．作直角三角形ODB，OAT．則

|DB|=sin∠AOB=sinx，

|AT|=tan∠AOB=tanx.

圖2

直角三角形DAB的直角邊長|DB|<斜邊長|AB|<弧長AB．也就是sinx弧長AB=x．更確切的證明是利用面積不等式：S△OAB

?sinx

由此不等式得到

作DB和圓弧AB關于OA的軸對稱圖形DC，AC．當∠BOC所對弧長BC=2x→0，

用弦長|BC|=2sinx代替弧長的相對誤差

由此得到，f(x)=sinx與g(x)=tanx在x=0的導數

曲線y=sinx與y=tanx在(0，0)有公切線y=x．如圖3．

與y=lnx，y=ex不同的是：正弦曲線和正切曲線并非始終在切線y=x同一側，而是在切點越過切線到了另一側．

圖3

對數曲線y=lnx在點(1,0)的切線斜率為1，是選擇對數的底a=e的結果．正弦曲線y=sinx與正切曲線y=tanx在(0，0)的切線斜率等于1，則是用弧度制的結果．正是由于用圓心角在單位圓周上所對的弧長x來度量角，當x→0時弦長2sinx與弧長2x趨于相等，比趨于1，才導致了函數y=sinx在x=0的導數等于1．