“構造逆命題”在初中幾何圖形的判定教學中的應用

江蘇省昆山市城北中學 金小丹

數學學習中，處處有命題，在很多情況下，我們可以通過對調原命題的條件和結論來構造原命題的逆命題，從而獲得新知識。初中幾何中同一知識對象的性質定理與判定定理往往是互逆的，如平行線的性質與判定、平行四邊形的性質與判定等。本文就幾何圖形判定定理的教學為例做分析，探討如何利用矩形、菱形的性質定理構造逆命題來學習矩形、菱形的判定定理。以此為基礎，結合“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題闡述如何引導學生獲得新知。

一、從矩形、菱形的性質定理到矩形、菱形的判定定理

學習矩形、菱形的判定定理前，學生已經學習了性質定理，因此，可以將性質定理確定為新知識的生長點，引導學生逆過來思考，即構造性質定理的逆命題，加以證明或修正，從而主動獲得矩形、菱形的判定定理。

先以矩形判定定理教學為例，學生已經學習了矩形的性質定理——矩形的四個角都是直角，對角線相等。上課之初，我讓學生分別寫出以上兩個命題的逆命題——“四個角都是直角的四邊形是矩形”“對角線相等的四邊形是矩形”。

對于第一個命題，“四個角都是直角的四邊形是矩形”，這是真命題。我引導學生思考是否需要四個角都是直角，學生意識到存在多余條件，可以修改為 “三個角都是直角的四邊形是矩形”，接著畫出圖形，運用矩形的定義進行證明。

已知：在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠D＝90°，求證：四邊形ABCD是矩形。

證明：∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，

∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，

∴AD∥BC，AB∥DC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形。

經過證明，這個命題是真命題，于是得到判定定理——“三個角是直角的四邊形是矩形”。

對于第二個命題，“對角線相等的四邊形是矩形”，學生很快判斷這是個假命題，并且舉出反例——等腰梯形。接下來自然產生疑問：“這個命題如何修改可以得到一個真命題？”經過短暫思考，學生給出答案，將“四邊形”改為“平行四邊形”，即“對角線相等的平行四邊形是矩形”。

在根據矩形的定義證明這個命題時，學生提出可以通過三對邊對應相等證明圖中△ABD與△DCA全等，從而得到∠BAD與∠CDA的等量關系，又由平行四邊形對邊平行可得AB∥DC，從而∠BAD與∠CDA互補，因此∠BAD與∠CDA都等于90°，根據矩形的定義可證得四邊形ABCD是矩形。具體證明過程如下：

已知：如圖1，在ABCD中，AC=BD。求證：ABCD是矩形。

圖1

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC。

∵AB=DC，AD=AD,BD=AC，

∴△ABD與≌△DCA（SSS）。

∴∠BAD=∠CDA。

∵AB∥DC，∴∠BAD+∠CDA＝180°，

∴∠BAD=∠CDA=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形。

經過證明，這個命題是真命題，于是得到判定定理——“對角線相等的平行四邊形是矩形”。在探索矩形的判定定理教學過程中，以學生已有的矩形的性質為知識生長點，通過構造逆命題來獲得矩形的判定定理，這符合新的建構主義思想：教學應當把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學習者從原有的知識經驗中生長新的知識經驗。

學習菱形的判定方法時，同樣的方法，讓學生寫出菱形的兩個性質“菱形的四條邊相等，對角線互相垂直”的逆命題，進而通過證明命題或者對命題進行修改使之成為真命題，從而得到菱形的判定定理“四邊相等的四邊形是菱形”“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”。

因為探索矩形或菱形的判定方法是建立在學生已有的知識經驗基礎之上的，學生對于矩形、菱形的性質并不陌生，只是將性質定理改寫為逆命題并合理修改并證明，使之成為真命題，所以整個教學過程都是在教師的引導下自然進行的，學生積極參與到學習中來，凸顯了學生的主體地位，做到了“將課堂還給學生”。

二、從直角三角形斜邊中線定理到逆命題

直角三角形是初中幾何中一種重要的圖形，斜邊上的中線定理是常考常用的一個定理。這個定理沒有逆定理，但是它的逆命題在判斷一個三角形的形狀時會經常出現，因此，在學習了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后，我讓學生寫出這個命題的逆命題“在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”并判斷其真假。

學生通過舉例猜想這是個真命題，之后通過幾何證明驗證了猜想。

圖2

分析：要證明∠ACB＝90°，就是要證明∠ACD+∠BCD＝90°。由條件可知AD=BD=CD，則∠A＝∠ACD,∠B＝∠BCD，所以∠ACD+∠BCD= 內角和的一半。

證明：在△ABC中，

∵CD是AB邊上的中線，∴AD=BD=AB。

∵CD＝AB，∴AD=BD=CD，

∴∠A＝∠ACD,∠B＝∠BCD，

∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形。

經過證明，學生對這個命題有了深入的領悟，之后通過系列練習，學生提出 “如果一個三角形一邊上的中線將這個三角形分成了兩個等腰三角形，那么這個三角形是等腰三角形”也是個真命題。

三、小結與思考

數學學習中處處有命題，處處有新知，“授人以魚不如授人以漁”，如何發揮學生的自主性，主動獲得新知識，這是每位教育工作者都會思考的問題。學生的知識體系是不斷充實的，如果能利用學生已有的知識體系，找準知識生長點，加以適當的引導，讓學生自主學習，將起到事半功倍的效果。