基于矢量對角加載的近場目標定位方法

姬 慶,程錦房,肖大為

(海軍工程大學兵器工程系，湖北 武漢430033)

0 引言

水下無人航行器(Underwater Unmanned Vehicle,UUV)目前已成為各國發展的重要裝備,具有體積小、操作靈活、自噪聲小的特點。其往往能夠抵近水雷雷區進行偵查、完成反水雷作戰,嚴重威脅水雷的安全[1-3]。由于UUV的目標輻射噪聲信號較弱,海洋環境復雜,水雷探測系測量得到的有效快拍數少,常規定位方法性能大大降低。因此對水雷而言,在小快拍信號下,提高對近場目標的定位能力尤為重要。

Capon于1969年提出的MVDR波束形成算法是一種高分辨且易于實現的空間譜方法[4]。但是當快拍數較少時,樣本協方差矩陣估計不準,甚至是病態矩陣,求逆誤差大[5]。Carlson首次提出固定對角加載技術,用于修正協方差矩陣,提高了MVDR算法的穩定性[6]。后來魯棒自適應波束形成器(RCB)、加載量迭代算法等改進算法相繼提出[7-8]。聚焦波束形成通常是針對陣列近場區域的合作目標進行噪聲源定位,進而完成減振降噪[9-10]。但以上算法大都是在遠場平面波模型下或者是以標量傳感器為接收陣列,而利用矢量水聽器對近場非合作聲源目標定位的研究較少。矢量水聽器與傳統的聲壓水聽器相比,輸出信號中增加了目標信息的種類和數量,對目標的低頻信號具有獨特的定位優勢[11-12],可以應用到對水下小目標的探測定位以及水下預警防御。

本文就是以水雷近場區域目標的定位問題為研究背景,針對水雷探測單元接收小快拍數據時近場MVDR算法定位性能下降的問題,提出一種矢量對角加載的近場目標定位方法。

1 測量模型

設探測系統是由M個三維矢量水聽器組成的任意型陣列。在陣列的近場區域中存在N個窄帶聲場目標,以球面波的形式輻射噪聲信號。近場模型與傳統的遠場模型是不同的,需要估計的參數更多,也更復雜。本文假定所有噪聲均為零均值的復高斯白噪聲,且與信源獨立。建立如圖1所示的笛卡爾坐標系。

第一水聽器位于原點處,第m個矢量水聽器接收的聲壓信號pm(t)可以表示為:

(1)

式(1)中,sn(t),kn=2πfn/c分別為第n個信號源的信號、波數；fn,c為信號中心頻率和聲波傳播速度。nmp(t)為第m個矢量水聽器聲壓通道的噪聲；Nt為采樣快拍數。

上式的矩陣形式為:

P=Aps(t)+np(t)

(2)

式(2)中,M×N維矩陣Ap=[a(θ11,α11,r11),…,a(θN1,αN1,rN1)]為聲壓陣近場陣列流型,其中a(θn1,αn1,rn1)=[1,rn1/rn2·e(jkn(rn1-rn2),…,rn1/rnM·e(jkn(rn1-rnM)]T為第n個聲源的導向矢量。下標nm表示第n個聲源相對第m(m=1,2,…,M)個陣元的位置參數,下文中表述類似。

近場情況下,根據Euler方程,單個三維矢量水聽器的振速vmx,vmy,vmz和聲壓信號pm關系可用下式表示:

(3)

(4)

式(4)中，ρ為傳播介質密度,在以后的計算中省去ρc這個常數項。綜上,矢量水聽器陣接收的4M×1維數據向量x(t),按不同水聽器輸出可以寫成如下形式:

(5)

式(5)中,?，⊙分別表示Kronecker積和Hadamard積,14×1表示元素都是1的4×1維矩陣,4M×N維矩陣(θ,α,r)=[c(θ11,α11,r11),…,c(θN1,αN1,rN1)]為近場矢量水聽器的陣列流型。4M×N維矩陣U為聲壓與振速的相關系數矩陣,其第(m,n)個分塊矩陣元素為

可見,本文就是在式(5)中矢量陣近場測量模型下研究利用近場波束形成算法對聲源目標參數θn1,αn1,rn1進行估計,從而完成對目標定位,提高雷陣的生存能力。

2 近場矢量MVDR波束形成

2.1 近場矢量MVDR

為了讓目標入射的信號無失真的輸出,并且使矢量水聽器陣列的總的輸出功率最小,這樣可以保證最大化抑制非目標信號。因此,Capon提出了MVDR波束形成器,其加權矢量的設計問題可以表述為:

min{w(θ,α,r)HRw(θ,α,r)} s.t.w(θ,α,r)c(θ,α,r)=1

(6)

根據拉格朗日方法,解得最優權向量為:

(7)

式(7)中,υ為常數系數。對應的近場矢量MVDR波束形成器輸出空間譜函數為:

(8)

R為采樣信號的協方差矩陣,通常由水雷上的探測單元采集有限的快拍數據估計得到:

(9)

可見協方差矩陣與數據快拍數有直接關系。

2.2 小快拍下定位能力分析

現在分析采樣快拍數對權值的影響,對式(9)進行特征分解并求逆可得到:

(10)

式(10)中,特征值降序排列λ1≥λ2≥…≥λN?λN+1≥…≥λ4M=λmin,其中，λ1,λ2,…,λN為信號對應的大特征值,一般遠大于噪聲對應的小特征值λN+1,…,λ4M。λmin為最小的特征值,一般為環境噪聲功率。em為特征值對應的特征向量,Ε=[e1,e2,…,e4M]。

首先分析小快拍對MVDR最優權值wopt的影響。將式(10)代入式(7),并忽略常數項,可得權值為:

(11)

對式(11)進行分析,當有效快拍數據足夠大時,噪聲協方差矩陣不存在估計誤差,噪聲的所有小特征值λN+1=…=λ4M=λmin,此時上式中的第三項為零,對MVDR波束輸出不產生影響。反之,快拍數較小時,噪聲功率估計不準,噪聲對應的特征值隨機波動,呈擴散狀態,有:λN+1≠λN+2≠…≠λ4M≠λmin。此時最優加權的第三項不為零,導致噪聲子空間的波束響應嚴重影響MVDR的波束輸出,進而影響定位精度。

另外,本文直接從輸出空間功率譜的角度分析小快拍下定位能力下降的原因。R-1特征分解后,式(8)可寫成:

(12)

可以看出空間功率譜是搜索位置處的方向向量c(θ,α,r)在特征向量矩陣[e1,e2,…,e4M]上的投影的加權和,且加權值為特征值的倒數[13]。

可見近場矢量MVDR對快拍數非常敏感,在快拍數較少時,需提高其魯棒性。

3 對角加載在近場定位的應用

對角加載技術是通過在協方差矩陣對角元素上加一個加載量ξ,降低噪聲特征值的擴散程度,可以提高算法的穩健性。對角加載后有:

RDL=R+ξI=Ε(Λ+ξI)-1EH

(13)

現在分析對角加載對權值的影響。將式(13)代入式(11)得到對角加載后的新的權矢量:

(14)

一般,ξ取值遠大于噪聲特征值,同時遠小于信號的大特征值。此時式(14)中的第三項為噪聲子空間產生的權值。即當N+1≤m≤4M時,(λm-λmin)/(λm+ξ)?(λm-λmin)/λm,因此噪聲子空間引起的波動影響相比于未加載時會大幅降低,從而提高了算法的穩健性。同時對于信號子空間的波束影響不大。經文獻[14]證明,當ξ=std(diag(R)),即采用協方差矩陣的標準差作為加載值易于實現,且不需要先驗知識,同時具有自適應調整加載的能力。

4 仿真及實驗數據分析

4.1 仿真分析

本文通過仿真和實驗數據對本文算法的定位能力進行驗證,同時重點分析算法定位能力隨信噪比和快拍數的變化。利用近場聲壓陣MVDR、近場矢量陣MVDR和矢量對角加載MVDR完成空間搜索后得到空間譜,譜峰對應的坐標作為聲源目標的方位、俯仰、距離參數的估計。為表述方便,現將以上三種方法分別簡記為SMVDR，VMVDR和VDMVDR。一般水雷尺寸為柱狀型,且為得到最大化陣列孔徑,本文仿真時采用均勻線性陣列。由4元3維矢量水聽器組成,陣元間距0.75 m。目標聲源為單頻窄帶信號,中心頻率f=3 150 Hz。

仿真1 小快拍下的雙目標定位能力分析

本文主要針對小快拍數據下近場聲源定位問題。首先設定信號快拍數為1倍矢量陣元通道,即為16,以第一個矢量水聽器的聲壓通道的信號功率為基準,加入SNR=0 dB的高斯白色噪聲。以方位角譜搜索為例,兩目標的方位角分別為50°，90°,進行10次Monte Carlo仿真實驗。利用上述三種方法完成搜索空間的譜估計,歸一化方位譜見圖2。

圖2中,三角處為目標的真實位置。由以上三種方法得到的歸一化方位譜圖可以看出:在快拍數較少時,VMVDR算法最不穩定,雖然在目標位置處具有較大幅值,但其旁瓣隨機波動,且波動幅度大,足以掩蓋目標。SMVDR算法與VMVDR算法相比,旁瓣也有波動,但波動相對較小。分析原因,是快拍數為1倍于矢量陣通道數,但此時卻是4倍于聲壓陣元數,一定程度上減小了聲壓陣協方差的估計誤差。但SMVDR定位存在明顯的左右舷模糊,這是明顯劣勢。相比較而言,VDMVDR獲得的方位譜,定位精度最高,旁瓣波動最小,能夠更準確地對處于陣列近場的聲源目標進行定位。說明對角加載算法可以高精度地完成小快拍下的近場目標定位,解決近場MVDR算法對快拍數敏感的問題。

圖2 雙目標方位譜剖面圖Fig.2 Dual target azimuth spatial spectrum

仿真2 定位性能隨SNR的變化

空間存在一個目標聲源,方位角50°,俯仰角為40°,距離為10 m。設置信噪比從-10 dB到10 dB,增長步長2.5 dB,每步長點400次Monte Carlo仿真實驗。快拍數為20,略大于一倍矢量陣元通道數。將空間譜的譜峰坐標作為目標位置參數的估計值,與真值比較計算得到估值的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE),性能曲線見圖3。

由圖3中方位、俯仰、距離參數估計值的RMSE曲線可以看出:在小快拍下,隨著信號SNR的增大,VMVDR，SMVDR和VDMVDR算法得到的估值的RMSE不斷降低,定位性能均得到改善。但相比較而言,VDMVDR算法得到的RMSE曲線最低,VMVDR算法次之,SMVDR算法的定位誤差最大。仿真結果說明對角加載算法能提高了近場MVDR算法在小快拍下的定位魯棒性，且矢量陣相比于聲壓陣,定位誤差更小,具有明顯的定位優勢。

仿真3 定位性能隨快拍數的變化

現在考察算法隨有效快拍數的性能變化,快拍數從16增加到240,增加步長為16。信噪比SNR=-5 dB,其他仿真參數與仿真2中一致。計算三種算法的方位、俯仰、距離估值的RMSE,得到性能曲線見圖4。

由圖4中可見,隨著快拍數增加,定位估值RMSE不斷減小,且VMVDR算法估計誤差的下降速度最快,而SMVDR和VDMVDR改善程度相對緩慢。在快拍數較小時,VDMVDR算法定位誤差大明顯小于VMVDR,說明對角加載技術能很好地提高了小快拍下矢量陣的近場目標定位能力,提高了小快拍下的定位穩健性。隨著快拍數的增大,協方差矩陣估計誤差較小,對角加載算法改善性能能力有所降低,但性能依然是最優的。同時,矢量陣的定位性能明顯優于聲壓陣的定位能力,也表明矢量陣和對角加載算法的結合有效提高了近場目標的定位性能。

圖3 定位性能隨SNR的變化曲線Fig.3 Localization performance curves with different SNR

圖4 定位性能隨快拍數的變化Fig.4 Localization performance curves with different snapshots number

4.2 實驗數據分析

為了更好驗證對角加載技術和矢量水聽器的實際應用能力,進行水中單目標的定位實驗。實驗采用4元二維矢量水聽器組成的線性陣列,間距為0.75 m,位置參數如圖5(a)所示。聲源與陣列在同一平面,因此俯仰角無需估計。采用換能器作為聲源,發射脈沖單頻聲信號,頻率為3 150 Hz。為驗證小快拍數據下的定位能力,分別取兩段數據進行計算。大快拍MVDR中的數據快拍數為400,并且取其中12個快拍數據作為小快拍矢量和聲壓MVDR的計算數據。得到方位角和距離的空間譜的剖面圖,如圖5(b)、圖5(c)所示。

圖5 實驗數據目標定位Fig.5 Target location with experimental data

由圖5可以看出,小快拍數據下,VMVDR，SMVDR得到的空間譜出現多處尖峰,這是由于數據少,協防矩陣奇異造成的,此時算法無法對目標進行定位。顯然,VDMVDR算法得到的譜峰對應的方位與距離與實驗設置參數基本一致,說明VDMVDR算法能在小快拍數據下仍能對目標進行定位。與多快拍VMVDR算法得到空間譜相比,主峰位置相近,但旁瓣略高。這是因為協方差矩陣通過對角加載處理后,雖然大幅抑制噪聲特征值的擴散，但是加載值也提高了噪聲特征值的平均水平,以致提高了旁瓣。

5 結論

本文提出一種基于矢量對角加載的改進近場MVDR算法,該方法將矢量水聽器和對角加載計算相結合,很好地解決了近場MVDR算法小快拍下定位性能差的問題。在小快拍數據下,仿真結果表明矢量對角加載后的近場MVDR算法較近場矢量MVDR算法可以對近場目標進行更準確定位,算法穩定性更好。同時矢量陣比聲壓陣定位性能力更高,能克服左右舷模糊問題。隨著SNR和快拍的增大,估計結果的RMSE不斷減小,定位性能逐漸提高。因此,本文中將矢量水聽器和對角加載算法結合,可以很好地應用于近場目標的定位,為提高水雷的生命力提供一種新的解決思路。