奇異值分解和EEMD的非線性振動信號降噪方法

劉樹聃,陳知行

(1.許昌市耕新信息科學(xué)研究院,河南 許昌 461000；2.許昌職業(yè)技術(shù)學(xué)院航空工程學(xué)院,河南 許昌 461000；3.北京理工大學(xué)自動化學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

機械運轉(zhuǎn)時干擾復(fù)雜,常常會淹沒機械真實狀態(tài)信息,極大影響了信號真實信息的解讀,給機械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測造成很大阻礙,并且機械系統(tǒng)因其復(fù)雜結(jié)構(gòu)具有非線性的動力學(xué)行為,其信號具有功率寬帶性和偽噪聲性,噪聲和信號頻帶部分甚至全部重疊,使得傳統(tǒng)的降噪方法難以取得較好效果[1]。

目前,常用的非線性降噪方法有小波變換、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)等,小波變換降噪效果受到小波基、分解層數(shù)和閾值這三要素影響較大,且閾值處理過程會導(dǎo)致有用信號被剔除,降噪效果不太理想[2]。EMD在受到脈沖強干擾的情況下,其分解出來的本征模態(tài)分量(Intrinsic Mode Function,IMF)會發(fā)生畸變,導(dǎo)致信號失真[3-4],且EMD本身存在一些不足,如模式混疊、端點效應(yīng)、停止條件等[5]。文獻(xiàn)[6]提出了集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法,能有效地抑制模式混疊。實測的非線性振動信號往往存在較強的隨機噪聲和脈沖干擾,尤其低信噪比條件下,信號幾乎被噪聲淹沒。以上單一的方法很難有效地將有用細(xì)節(jié)從強干擾中提取出來。文獻(xiàn)[7]提出基于奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)和EMD的信號降噪方法,但是該方法無法有效抑制脈沖噪聲和模式混疊現(xiàn)象。文獻(xiàn)[8]提出了利用Savitzky-Golay(SG)濾波方法對海雜波信號經(jīng)EEMD分解后噪聲占主導(dǎo)作用的IMF分量進(jìn)行降噪處理,SG濾波算法可以有效抑制脈沖噪聲,但是對于低頻含噪信號比較有效,若是處理噪聲主導(dǎo)的高頻含噪信號會導(dǎo)致部分有用細(xì)節(jié)的流失。文獻(xiàn)[9]提出一種小波包降噪算法與 EMD 解相關(guān)算法相結(jié)合的數(shù)據(jù)處理方法,能夠同時有效抑制模態(tài)混疊現(xiàn)象和消除白噪聲干擾,但是缺乏抑制脈沖噪聲的手段。以上降噪方法無法同時實現(xiàn)既抑制白噪聲和脈沖干擾又能減少有用信號失真這一理想效果。為此,本文提出基于SVD和EEMD的非線性振動信號降噪方法,充分利用EEMD疊加白噪聲的預(yù)處理手段,有效抑制脈沖噪聲和模式混疊,且分解后的信號提取出趨勢項可以提高奇異值差分譜方法選擇重構(gòu)點的自適應(yīng)性[7],實現(xiàn)SVD和EEMD的優(yōu)勢互補,提高降噪效果。

1 EEMD和SVD基本原理

1.1 EEMD基本原理

利用EMD對信號進(jìn)行去噪處理時,由于相鄰本征模態(tài)分量或者同一本征模態(tài)分量頻率相近的噪聲和信號會發(fā)生能量滲透,導(dǎo)致信號和噪聲無法完全篩分,影響去噪效果。為此,在利用EMD處理信號時,先對信號疊加M零均值的白噪聲[6],目的是使白噪聲均勻分布在各個頻段上,可以引導(dǎo)信號自適應(yīng)分布到合適的頻段上,克服了極值點分布不均勻的缺陷,并且,多次疊加白噪聲然后取平均,可以抵消部分噪聲的干擾,減少EMD過程中噪聲引起的異常事件。因此,EEMD就是疊加白噪聲預(yù)處理后的經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸鈁6],具體步驟如下:

1) 對原始信號x(t)中疊加M(M>1)次均值為0,均勻分布的高斯白噪聲ni(t),i=1,2,…,M,即:

xi(t)=x(t)+ni(t)

(1)

2) 對預(yù)處理后的xi(t)進(jìn)行EMD處理,得到N個IMF記為aij(t),j=1,2,…,N,ri(t) 表示余項。其中,aij(t)表示經(jīng)過疊加第i次高斯白噪聲后,再經(jīng)EMD處理得到的第j個IMF。

3) 由于噪聲時零均值均勻分布,因此,將式(1)、2)步處理后得到的IMF進(jìn)行M次平均運算,就可以消除預(yù)處理過程中疊加的白噪聲的影響,EEMD處理得到的IMF為:

(2)

式(2)中,aj(t)表示對原始信號進(jìn)行EEMD分解后所得的第j個IMF分量。

1.2 SVD信號降噪方法

對于信號x={xi},i=1,2,…,N,可以構(gòu)造如下Hankel矩陣:

(3)

對H進(jìn)行奇異值分解,得到：

H=USVT

(4)

式(4)中,U、V為正交矩陣,VT為V的轉(zhuǎn)置,S為由奇異值構(gòu)成的對角矩陣。其奇異值存在如下關(guān)系:σ1>σ2>…>σk?σk+1>σk+2>σr。其中,σk為奇異值分界得到的第k個奇異值,k=1,2,…,r,r為矩陣H的秩,?表示從第k+1個奇異值起,后續(xù)奇異值明顯小于前k個奇異值,因此可以將第k+1起后續(xù)的奇異值看作是噪聲分量對應(yīng)的奇異值[10]。因此奇異值分解降噪的關(guān)鍵在于重構(gòu)個數(shù)k的選擇。

文獻(xiàn)[11]定義奇異值差分譜為:

di=σi-σj,j=i+1,i=1,…,q

(5)

式(5)中，q=min(N-n+1,n)-1。

記差分譜序列D=(d1,d2,…,dq)。D的前k個奇異值為信號的真實分量對應(yīng)的奇異值,第k+1個奇異值起為噪聲對應(yīng)的奇異值,則D的第k個元素dk為差分譜序列的最大峰值,即：

k=argmax{peak(di):i=1,…,q}

(6)

式(6)中,peak(di)表示di的峰值。

選擇前k個奇異值即可重構(gòu)原信號,在實際應(yīng)用中,對含有較強趨勢項的信號進(jìn)行降噪時,奇異值差分譜方法不能有效選擇奇異值[7]。

2 SVD-EEMD信號降噪模型建立

EEMD在對信號降噪時,對本證模態(tài)分量閾值處理,難免會造成高頻噪聲遺留,低頻有用信號流失[6],而SVD則是有效秩次的確定易受到信號趨勢項的影響[7]。SVD-EEMD降噪模型的主要效用:一是有效抑制非線性機械振動中的脈沖噪聲；二是有效抑制EMD模式混疊效應(yīng)；三是利用EEMD提取信號趨勢項,提高SVD奇異值選擇的自適應(yīng)性,且克服簡單對本證模態(tài)分量閾值處理造成不理想的降噪效果這一缺陷。具體實施步驟如下:

1) 對原始信號疊加M(M>1)次均值為0,均勻分布的高斯白噪聲；

2) 對預(yù)處理后的信號進(jìn)行EMD處理；

3) 選擇時間尺度,提取信號的趨勢項,將信號分為a(t)和tr(t)兩部分；

4) 利用SVD對a(t)進(jìn)行降噪處理,采用奇異值差分譜確定需重構(gòu)的奇異值個數(shù)；

5) 將處理后得到的a′(t)和趨勢項疊加即為降噪后的信號。

3 驗證分析

3.1 EMD和EEMD比較分析

引起模式混疊的主要原因是受外部異常事件的影響,如間斷信號、脈沖干擾和白噪聲等。為了驗證受干擾條件下非線性振動信號EEMD分解的抑制混疊效應(yīng)能力,本文以疊加15 dB的Lorenz時間序列和Gauspuls脈沖分量組成的信號進(jìn)行仿真分析,其中Gauspuls脈沖干擾的中心頻率fc=1 000 Hz,相對帶寬bw=0.5。圖1(a)為原始信號；圖1(b)為仿真信號的EMD分解結(jié)果,包括四個IMF分量和一個余項res。圖中在干擾附近(箭頭所標(biāo)位置)是干擾和Lorenz序列的模式混疊,分布有兩者的特征時間尺度,并且與原始信號相比,發(fā)生混疊處原始信號都存在明顯脈沖干擾。因此,在去噪的同時會導(dǎo)致部分有用信號的遺失。圖1(c)為仿真信號的EEMD分解結(jié)果,加入0.4倍信號標(biāo)準(zhǔn)偏差的高斯白噪聲,加入次數(shù)M=100,可以看出,分解結(jié)果并未出現(xiàn)明顯的模式混疊。圖2為仿真信號EMD和EEMD與原始信號的重構(gòu)誤差,可以看出EMD重構(gòu)誤差e1=0.227 1明顯大于EEMD重構(gòu)誤差e2=0.137 0,說明了異常事件使原始信號發(fā)生畸變,導(dǎo)致了信號失真,進(jìn)一步證實了EEMD的優(yōu)勢。

圖1 仿真信號的EMD和EEMD結(jié)果Fig.1 EMD and EEMD results of simulation signal

3.2 降噪方法對比分析

以信噪比為-5 dB的Lorenz時間序列為例,并疊加Gauspuls脈沖干擾對本文所提方法的必要性進(jìn)行分析,干凈的Lorenz時間序列和疊加干擾的含噪序列如圖3所示。

按照降噪模型實施步驟,首先對含噪信號進(jìn)行EEMD處理,如圖4所示。為了驗證趨勢項對SVD差分譜選取需重構(gòu)的奇異值個數(shù)的影響,分別利用SVD對原始信號和EEMD分解后去除趨勢項的剩余部分進(jìn)行處理,結(jié)果如圖5所示。受趨勢項的影響,圖5(a)中箭頭所指位置,奇異值差分譜最大值出現(xiàn)在第一個位置,將第一個奇異值重構(gòu)后后導(dǎo)致有用細(xì)節(jié)的過量。圖5(b)中奇異值差分譜出現(xiàn)在第2個位置,而在最大值之后,奇異值差分譜的值遠(yuǎn)小于最大值,且分布比較均勻,因此信號經(jīng)過EEMD處理后消除了趨勢項對SVD奇異值選擇的影響,分析結(jié)果和文獻(xiàn)[7]吻合。

圖2 EMD和EEMD重構(gòu)誤差Fig.2 Reconstruction error of EMD and EEMD

圖3 Lorenz時間序列Fig.3 Lorenz time series

為了更加直觀地比較降噪效果,分別利用SVD、EEMD、SVD-EMD[7]和SVD-EEMD對含噪Lorenz信號進(jìn)行降噪處理,結(jié)果如圖6所示。圖6(a)中,由于趨勢項的影響,單一使用SVD降噪會導(dǎo)致原始信號失真,如圖中箭頭所示；圖6(b)中,傳統(tǒng)EEMD對高頻分量閾值處理后不可避免遺留部分噪聲,從而導(dǎo)致降噪后信號粗糙；圖6(c)中,白噪聲得到了有效抑制,并且信號比較平滑,但是對脈沖噪聲的抑制效果不明顯,如圖中箭頭所示；圖6(d)中,本文方法降噪后信號中白噪聲和脈沖噪聲都得到了有效抑制。表1給出了四種方法去噪后信號的信噪比(SNR)和均方誤差(MSE),可以看出,本文方法降噪效果最優(yōu),降噪后信號的信噪比提高到了18.154 7 dB。

圖4 EEMD處理結(jié)果Fig.4 The EEMD result of simulation signal

圖5 信號奇異值和差分譜Fig.5 Signal singular value and difference spectrum

信噪比反應(yīng)去噪能力的大小,均方誤差的物理意義是表示去噪后信號和原始信號的平均偏離程度,求解信噪比和均方誤差的公式為:

(7)

(8)

式(7)、式(8)中,x′(n)表示去噪后的序列,x(n)為原始時間序列,var(·)表示方差,x′(n)-x(n)表示信號中的剩余噪聲。

圖6 四種方法降噪效果Fig.6 The noise reduction effect of four methods

原始信號SVDEEMDSVD-EMD本文方法SNR/dB-515.374 216.453 017.714 518.154 7MSE1.578 30.793 10.674 20.534 20.510 3

3.3 實測振動信號處理

實測信號由分段隔振系統(tǒng)產(chǎn)生[12],設(shè)計的初衷是對振動控制進(jìn)行分析。在振動控制領(lǐng)域,對振動信號的識別和預(yù)測有著至關(guān)重要的作用,而噪聲的存在會極大干擾識別和預(yù)測效果,從而無法準(zhǔn)確掌握振動趨勢,無法給出相應(yīng)的振動控制策略。考慮到采集的信號是非線性,且易受到復(fù)雜外部干擾,因此有效的降噪手段對振動信號進(jìn)行下一步分析處理至關(guān)重要。為模擬被隔振設(shè)備,設(shè)計一個上層質(zhì)量塊,同時利用激振器產(chǎn)生一定的激勵力模擬設(shè)備在工作時的狀況。硬件部分還包括信號采集裝置(NIPXI-10420)、功率放大器(YE5873)、激振器(JZK-40)等,信號通過加速度傳感器采集,信號發(fā)生器為本試驗提供諧波信號,經(jīng)功率放大器放大后驅(qū)動激振器,試驗過程中,通過改變增益可以調(diào)節(jié)整個非線性隔振系統(tǒng)的參數(shù),模擬設(shè)備的不同工況。試驗裝置如圖7所示。

圖7 實驗裝置圖Fig.7 The figure of experimental setup

激勵頻率f=20 Hz時,底層基座采集的時間序列圖如圖8(a)所示,數(shù)據(jù)長度為3 000。圖8(b)、圖8(c)分別為SVD-EMD和SVD-EEMD的去噪結(jié)果。由于原始信號為機械式振動信號,其信號和噪聲未知,不能利用信噪比和均方誤差進(jìn)行定量比較,但是白噪聲不具備相關(guān)性,其自相關(guān)系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號[13],因此,可以利用3種方法去噪后的自相關(guān)函數(shù)值評價去噪效果。

圖8 實測信號降噪結(jié)果Fig.8 De-noising results of measured signal

兩種方法去噪前后的部分自相關(guān)函數(shù)值如圖9所示。圖中,“△”表示SVD-EEMD的自相關(guān)函數(shù)曲線,“---”表示SVD-EMD的自相關(guān)函數(shù)曲線,“—”表示原始信號的自相關(guān)函數(shù)曲線。可以看出,原始信號受到噪聲的干擾,其自相關(guān)函數(shù)值相比去噪后要小很多,而本文所提方法降噪后序列的自相關(guān)函數(shù)值最大,說明噪聲抑制效果最明顯,進(jìn)一步展現(xiàn)了其降噪的優(yōu)越性,也證明了本文方法可以為工程實測信號進(jìn)一步分析處理提供了有效的預(yù)處理手段。

圖9 降噪前后信號的自相關(guān)函數(shù)曲線圖Fig.9 Autocorrelation function of the signal

4 結(jié)論

為了有效抑制工程實際中常見的白噪聲和脈沖噪聲,本文提出了基于SVD-EEMD降噪方法。該方法通過EEMD提取趨勢項和抑制脈沖干擾,提高SVD奇異值選擇的自適應(yīng)性,然后利用SVD進(jìn)一步增強降噪效果。通過仿真信號和實測非線性振動信號分析,結(jié)果表明，所提方法可以有效實現(xiàn)SVD和EEMD優(yōu)勢互補,在抑制模式混疊和脈沖干擾的同時,減少趨勢項對SVD奇異值選擇的影響,大大提高了降噪效果,減少了有用信號失真,為工程實測信號進(jìn)一步分析提供有效預(yù)處理手段,具有良好的工程應(yīng)用前景。