論述數(shù)學(xué)不等式的學(xué)習(xí)和解題技巧

◆摘 要：不等式的學(xué)習(xí)整個數(shù)學(xué)課程中最重要的組成部分，更是學(xué)習(xí)過程中的重點、難點，因此在學(xué)習(xí)過程中需要我們給予充分的重視。本文主要介紹了在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不等式過程中學(xué)習(xí)方法和解題技巧，主要目的是能夠幫助更多的同學(xué)在學(xué)習(xí)不等式過程中能夠做到驅(qū)動我們在一定程度上完成相應(yīng)的目標任務(wù)，提升解題的速度和正確率，由此激發(fā)我們更多同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)其實踐和創(chuàng)新能力。

◆關(guān)鍵詞：不等式；學(xué)習(xí)方法；解題技巧

不等式在高中學(xué)習(xí)中占據(jù)了重要的地位，在很多考試題目中更融入了不等式的思想，但由于在不等式學(xué)習(xí)中是擁有很強的抽象性，故而在解答不等式過程不明不白，思路不清晰，步驟不完整。更甚者見到不等式便放棄了其解答，進而使得一部分同學(xué)在學(xué)習(xí)不等式的過程中望而卻步，其實實際上在不等式的學(xué)習(xí)和解答過程中并沒有多大的難處，結(jié)合本人自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，只要理清思路，掌握好解題方法，抓住易錯題型，掌握解題技巧，這樣就能更快的發(fā)現(xiàn)問題并能解決問題。

一、忽視不等式定義域或取值范圍

在解題過程中無視題干中已知定義域和變量的取值范圍，或是隱藏在函數(shù)自身性質(zhì)中的定義域，進而導(dǎo)致在實際解題中的偏差和錯誤。所以在解題過程中應(yīng)該牢牢抓住不等式中基本的函數(shù)定義域規(guī)則，例如分數(shù)的分母不能為0；偶次方根的底數(shù)大于等于0；對數(shù)函數(shù)的底數(shù)應(yīng)該大于零且不等于1，真數(shù)大于0；指數(shù)函數(shù)的底數(shù)應(yīng)該大于0且不等于1；0的零次方?jīng)]有任何意義。例如在解決絕對值不等式時，可以通過變形去掉絕對值的符號，將其轉(zhuǎn)化為相同區(qū)間的一元一次、一元二次或者是一元三次的方程或方程組進行解答，在解答的同時對定義域進行分析，注意自變量的區(qū)間范圍。在上面的舉例中我們不難看出在解答不等式題目中應(yīng)該注意分析包含在題干中的隱藏條件，充分了解函數(shù)的基本性質(zhì)，充分理解函數(shù)定義域的取值范圍。

二、數(shù)形結(jié)合不等式

很多同學(xué)在面對一些無法直接運算的題目時，不知從何下手，本人在遇到此種類型的不等式時，通過大量的做題可以發(fā)現(xiàn)運用數(shù)形結(jié)合的方式進行解答。總的來說也就是運用了由形化數(shù)，由數(shù)化形以及兩方面轉(zhuǎn)換，通過這三種解題思路來說，更是要根據(jù)具體的不等式題型進行分析，與此同時轉(zhuǎn)換數(shù)形兩者角色來說也有三種途徑：①建立坐標系，直觀的顯現(xiàn)不等式的狀態(tài)；②轉(zhuǎn)化不等式，通過不同的途徑進行分析；③構(gòu)造不等式，在原本沒有的基礎(chǔ)上進行函數(shù)構(gòu)造或構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形。就數(shù)形轉(zhuǎn)換來說通常出現(xiàn)在不等式的參數(shù)取值范圍和解不等式的題型中，這樣可以使原本較為抽象的知識具體化，更加直觀地得到答案，提高解題的正確率。

三、均值不等式

均值不等式也是不等式題型中常見的解答題目，按照不等式基本性質(zhì)來說，我們可以進行總結(jié)即[a2+b2≥2ab]，不限定其他條件，但是由基本不等式可以推出[a2+b2≥2ab]，再次化簡得[（a+b）2≥ab]，這個不等式就是均值不等式即兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或等于兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)。根據(jù)均值不等式來說可以得出：①求最值的條件：[ab]都為正數(shù)，積定和最小，和定積最大，有且僅有[ab]相等時，等式才能成立；②當這兩個正數(shù)的積位定值時，可以根據(jù)其性質(zhì)求出兩者的和的最小值，當兩個正數(shù)的和位定值時，可以求得積的最小值。

四、題型解析和解題技巧

1.值域問題

針對函數(shù)求值域來說，可以進行以下三種方式進行解答，拆、湊項，系數(shù)增加法和換元法，前兩種能夠覆蓋大部分的不等式值域問題的解題思路，第三種方法可以對其進行廣泛的應(yīng)用，當遇到一些沒有解題思路和突破口時可以使用此方法進行解答，尋找解題思路。

（1）拆、湊項

（2）系數(shù)增加法

例2：當x∈（0，4），求y=x（8-2x）的最大值。

分析：就本體而言，雖然是兩個式子的積形式，但由于和不為定值，故而需要研究相應(yīng)的式子使得和為定值，通過分析可得（8-2x）+2x為定值，則可以按照系數(shù)減法進行拼揍可得。

（3）換元法

例3：求函數(shù)[y=x-3+2x+1]的值域。

分析：看到這樣的題目時，無法運算一次性得到結(jié)果，就可以將其進行換元，使得原有的變量轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進行相應(yīng)的求值，進而得到原函數(shù)的值域。

2.求最值

利用均值不等式的性質(zhì)求最值，有四種情況：求正數(shù)積的最大值，求正數(shù)和的最大值，根據(jù)均值不等式判斷最值得符號問題以及相應(yīng)條件下的最值問題。這些題型可以運用下列三種方法進行求解：數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù)法和拆分法，下面通過例題對以上三種方法進行相應(yīng)的總結(jié)。

以上三種方法都能得到正確答案，但是針對不同題目可以運用不同的方法進行求解，導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的方法針對大多數(shù)題目都能適合其求解，而對于拆分法來說方法簡單，但需要拆分到我們需要的函數(shù)中，此方法耗費的時間較長，還容易出現(xiàn)錯誤，這就需要在解此類問題時需要根據(jù)不同的類型不同的化簡方式進行求解，只有做到靈活選用，熟能生巧，才能更快更準解決問題。

五、總結(jié)

由于不等式是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重點和難點，也是我們高考數(shù)學(xué)必考知識點，我們在面對不等式解答前，需要熟知相應(yīng)函數(shù)的基本性質(zhì)，保持縝密的解題思維，要能夠梳理出解題方法和思路，不要盲目的亂套亂分析，一步一步理清解答脈絡(luò)，深刻剖析題干中隱藏的條件，羅列出相關(guān)的重要信息，進而使得不等式在化繁求簡，分段分析時不錯過每一個解答點，提升最終的解答過程和結(jié)果的正確率。不等式的學(xué)習(xí)和解題技巧不是一蹴而就的，需要舉一反三，靈活應(yīng)用，不斷的總結(jié)和歸納，這樣才能在學(xué)習(xí)不等式的過程中得心應(yīng)手，取得高分。

參考文獻

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作者簡介

陳維堯（1996—），男，漢族，四川省宜賓市人，本科學(xué)歷。