空間曲梁景觀步行橋人致振動(dòng)分析及減振設(shè)計(jì)

蔣長(zhǎng)江，梁俊松

（中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司,四川 成都 610031）

0 引言

城市景觀步行橋?qū)γ缹W(xué)要求高，結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，多為空間組合結(jié)構(gòu)。隨著橋梁技術(shù)的發(fā)展和高強(qiáng)輕質(zhì)材料的使用，景觀步行橋變得越來(lái)越輕柔、大跨和低阻尼化[1]，橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)基頻也越來(lái)越小，很難滿足我國(guó)《城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范》（CJJ 69—95）的規(guī)定：為避免共振，減少行人不安全感，天橋上部結(jié)構(gòu)豎向自振頻率不應(yīng)小于3 Hz。人行橋的人致振動(dòng)主要影響的是橋梁的使用性，采用規(guī)范規(guī)定的振動(dòng)頻率評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，將能避免由于人行荷載所引起的不利振動(dòng)現(xiàn)象；而對(duì)于橋梁基頻不能滿足規(guī)范要求的情況，應(yīng)對(duì)人行舒適性進(jìn)行評(píng)估，必要時(shí)進(jìn)行減振設(shè)計(jì)。因此，本文以某空間曲梁景觀步行橋?yàn)槔榻B人行橋的舒適性評(píng)估方法，并進(jìn)行基于調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（TMD）的減振預(yù)案設(shè)計(jì)。

1 景觀步行橋概況

某中央公園景觀步行橋?yàn)殡p索面空間索斜拉人行橋（見(jiàn)圖1），跨徑布置為72 m+32 m+72 m。人行凈寬為5～9.76 m，由橋臺(tái)漸變至中間墩。中間墩位置處設(shè)置2個(gè)樓梯，寬度為3 m，樓梯下端固定，上端搭在橫梁上。橋塔為圓形鋼結(jié)構(gòu)，垂直傾角25°。橋塔穿過(guò)橋面板后用螺栓錨固在承臺(tái)上，塔梁分離，橋塔內(nèi)設(shè)加勁。每個(gè)橋塔連接11對(duì)拉索，塔上索間距1.14～2.34 m不等。

圖1 景觀步行橋效果圖

主梁平面為“S”曲線型，斷面為組合結(jié)構(gòu)，2根工字鋼梁通過(guò)剪力釘與混凝土橋面板相連。工字鋼梁高度為0.8 m，上翼緣寬度0.4～0.7 m，下翼緣寬度 0.6～0.9 m；橋面板寬度為 5.84～10.6 m，厚度為0.25～0.3 m；主梁外包厚4 mm的不銹鋼裝飾板。橋面設(shè)2%雙向橫坡，橋面最大縱坡5.24%。

2 人致激勵(lì)分析理論

2.1 人行荷載的力學(xué)模型

人行激勵(lì)振動(dòng)的特性取決于人行荷載的特殊性。人行荷載應(yīng)考慮單人行走和人群行走狀態(tài)下的力學(xué)模型。

人的行走由連續(xù)的步子形成，具有周期性。這種周期性激勵(lì)在豎向和側(cè)向都可以用傅里葉級(jí)數(shù)的形式表示，級(jí)數(shù)中高階頻率是基頻的整數(shù)倍，但基頻的大小在豎向和側(cè)向不同。人行豎向激勵(lì)的傅里葉級(jí)數(shù)的基頻大約是2 Hz，側(cè)向基頻是豎向的一半。單人在橋上行走時(shí)，基于步行力的周期性，豎向力Fv和側(cè)向力Fl都可以用傅里葉級(jí)數(shù)的形式表示[2-3]：式中：G為人的體重；t為時(shí)間；fp為步頻；αvi和 α1i分別為豎向力和側(cè)向力的第i階動(dòng)載因子，φvi和φl(shuí)i分別為豎向力和側(cè)向力的第i階諧波相位角。

根據(jù)現(xiàn)有的研究結(jié)論，各階諧波的動(dòng)載因子取值不同，其中豎向力1階諧波動(dòng)載因子最大，高階諧波動(dòng)載因子迅速減小，一般只需考慮前3階或前4階諧波。在參考英國(guó)規(guī)范[4]的基礎(chǔ)上，可按下式計(jì)算人行荷載：

其中動(dòng)載因子 0.36、0.13、0.033、0.009 是參考幾種試驗(yàn)結(jié)果的平均值。

人群在橋上行走時(shí)，人步行對(duì)橋面產(chǎn)生周期性的作用力，一般情況下只引起較小的振動(dòng)響應(yīng)。但當(dāng)步行側(cè)向力的頻率接近人行橋側(cè)向振動(dòng)固有頻率時(shí)，將引起橋面明顯的可感振動(dòng)，人與橋之間開(kāi)始發(fā)生強(qiáng)烈的相互作用過(guò)程。由于行人對(duì)側(cè)向振動(dòng)較為敏感，當(dāng)振動(dòng)影響其步行舒適性和平衡時(shí)會(huì)下意識(shí)地隨之晃動(dòng)并調(diào)整步伐，通常的方式是加大步伐的橫向晃動(dòng)幅度和調(diào)整步伐與振動(dòng)同步調(diào)。這種人對(duì)振動(dòng)的自發(fā)反應(yīng)和步伐調(diào)整策略是人的生理與心理機(jī)能的表現(xiàn)，一定程度上是人的共同特性。不同的行人將以同樣的方式調(diào)整步伐即形成同步調(diào)行走，產(chǎn)生更大的步行激勵(lì)，由于該激勵(lì)與振動(dòng)同步，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生嚴(yán)重的共振，這被稱(chēng)為人群步行的集體同步現(xiàn)象[5]。

人群在橋上行走時(shí)，由于行人間步行不一致，不同人的步行力相互消減，按照荷載等效原則，人數(shù)為N的人群荷載可折減為Ne個(gè)步調(diào)一致的行人產(chǎn)生的荷載，二者的比值稱(chēng)為同步調(diào)概率。Matsumoto等[6]研究隨機(jī)步行人群對(duì)人行橋的激振時(shí)，假設(shè)行人上橋事件服從泊松分布，且相位互不相關(guān)，根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論得出，實(shí)際的步行人群由于某些因素將引起一定程度的同步調(diào)，則Ne介于和N之間。

2.2 舒適性評(píng)價(jià)指標(biāo)

人行激勵(lì)振動(dòng)帶來(lái)的是橋梁的適用性問(wèn)題，舒適性指標(biāo)是未引起行人感覺(jué)不適的加速度允許值。參考國(guó)內(nèi)外相關(guān)規(guī)范的描述，如英國(guó)規(guī)范BS5400和歐洲規(guī)范EN1990，其豎向加速度的允許值可表示為由于行人對(duì)側(cè)向振動(dòng)更敏感，側(cè)向加速度的允許值也相對(duì)更為嚴(yán)格，允許值表示為。其中，f為橋面豎向自振頻率，大多數(shù)情況下可以假定為基頻f0。

3 人致激勵(lì)分析方法

3.1 橋梁自振特性分析

運(yùn)用Midas/Civil對(duì)該景觀步行橋建立全橋有限元模型（見(jiàn)圖2）。用梁?jiǎn)卧M工字鋼主梁、混凝土橋面板及橋塔，桁架單元模擬拉索，混凝土板與鋼主梁采用虛擬梁連接，忽略剪力釘?shù)膭偠扔绊憽Ｕ麄€(gè)計(jì)算建立在全結(jié)構(gòu)彈性受力基礎(chǔ)上，即假設(shè)混凝土橋面板不退出工作。

圖2 全橋有限元模型

對(duì)建立的全橋有限元模型進(jìn)行動(dòng)力分析，提取全橋的前15階頻率和振型，如表1所示。

表1 全橋前15階頻率和振型

該橋的基頻為0.569 Hz，對(duì)應(yīng)振型為主梁豎向1階彎曲，不滿足規(guī)范不應(yīng)小于3 Hz的要求。國(guó)外最新修訂的人行橋規(guī)范BS5400（BD/01）和EN1990認(rèn)為，人行橋豎向基頻小于3 Hz、側(cè)向基頻小于1.5 Hz時(shí)，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行人致振動(dòng)分析和評(píng)估。從該橋的頻率分布中可以看到，該景觀步行橋的豎向基頻為0.569 Hz，側(cè)向基頻為1.347 Hz，均小于相應(yīng)的規(guī)定值。另外，有多個(gè)振型的頻率落入與人行激勵(lì)頻率較接近的范圍（豎向?yàn)?.6～2.4 Hz，側(cè)向?yàn)?.8～1.2 Hz）。特別是第10階振型，該振型為主梁2階橫向整體擺動(dòng)和主梁2階扭轉(zhuǎn)，振動(dòng)頻率為2.032 Hz；大量的研究結(jié)果顯示，人群荷載的激勵(lì)頻率均值為2 Hz，二者非常接近，有可能激起結(jié)構(gòu)的大幅度振動(dòng)。

3.2 不同工況下人致振動(dòng)分析

3.2.1 人群隨機(jī)步行狀態(tài)下的振動(dòng)響應(yīng)

采用Midas/Civil軟件進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)分析。根據(jù)英國(guó)規(guī)范中的推薦方法，用1階諧載模擬人行荷載，豎向動(dòng)載因子取為0.36，側(cè)向動(dòng)載因子取為0.033；結(jié)構(gòu)阻尼比取1.0%；激勵(lì)頻率分別取值為可能引起主梁豎向和側(cè)向某階振動(dòng)共振的頻率，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 激勵(lì)荷載作用下人行橋的振動(dòng)響應(yīng)

該景觀步行橋的振動(dòng)基頻為0.569 Hz，則豎向加速度限值為aylim=0.377 m/s2，側(cè)向加速度限值為allim=0.106 m/s2。從隨機(jī)步行的計(jì)算結(jié)果中可以看到，該景觀步行橋振動(dòng)的豎向和側(cè)向加速度峰值都小于限值。因此，在設(shè)計(jì)的人群荷載作用下，若行人的步行完全隨機(jī)，沒(méi)有受外界影響發(fā)生同步效應(yīng)，該人行橋的人致振動(dòng)滿足舒適性要求。

3.2.2 考慮人群同步效應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)

人群同步激勵(lì)是指在某種外界因素影響下一定比例的人具有一致的運(yùn)動(dòng)并對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生步調(diào)一致的激勵(lì)。由于行人對(duì)側(cè)向振動(dòng)較為敏感，行人調(diào)整步伐的趨向取決于其橫向晃動(dòng)頻率與橋梁側(cè)向振動(dòng)頻率的關(guān)系，行人調(diào)整步伐前其橫向晃動(dòng)頻率越接近橋梁側(cè)向振動(dòng)頻率，達(dá)到同步調(diào)的概率越大。在振幅較小時(shí)，橫向晃動(dòng)頻率與側(cè)向振動(dòng)頻率較接近的人先調(diào)整步伐到同步調(diào)，而隨著振幅增大，2種頻率相差較大的人也被“吸引”到振動(dòng)頻率上來(lái)。根據(jù)學(xué)者的研究，同步調(diào)概率與振幅的關(guān)系[5]為：

式中：Ps（A）為同步調(diào)概率；A為側(cè)向振幅；C1為常數(shù)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得C1=0.022；vf為考慮振動(dòng)頻率偏離人體橫向晃動(dòng)頻率對(duì)同步調(diào)概率影響的折減系數(shù)，定義為vf=exp［-c2（f-1）2］，其中的f為側(cè)向振動(dòng)頻率，c2為常數(shù)。對(duì)于頻率為1 Hz的側(cè)向振動(dòng)，vf=1；對(duì)于側(cè)向振動(dòng)頻率大于1.3 Hz的人行橋，一般認(rèn)為不會(huì)發(fā)生人群同步調(diào)步行，vf取值較小。

本橋的側(cè)向振動(dòng)基頻為1.347 Hz，大于1.3 Hz，按研究結(jié)果一般認(rèn)為不會(huì)發(fā)生人群同步調(diào)步行，但考慮到實(shí)際工程結(jié)構(gòu)和有限元分析中的諸多不確定性，假設(shè)人群中有10%的人同步調(diào)行走，保守取vf為1，分別對(duì)側(cè)向激勵(lì)頻率為0.882 Hz、1.347 Hz、1.544 Hz進(jìn)行迭代計(jì)算，求出可能發(fā)生的同步調(diào)行人百分比，如表3所示。

表3 不同側(cè)向激勵(lì)頻率下同步調(diào)行人百分比

由同步調(diào)概率與振幅關(guān)系的公式進(jìn)行迭代計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)在以上3種側(cè)向激勵(lì)荷載作用下，同步調(diào)概率很快衰減到1%以下，小于完全隨機(jī)狀態(tài)下的同步調(diào)人數(shù)百分比。這說(shuō)明該橋不會(huì)發(fā)生人群同步調(diào)步行，與前面的理論分析是吻合的。在此情況下，計(jì)算出來(lái)的橫向加速度峰值不會(huì)超過(guò)完全隨機(jī)狀態(tài)下相應(yīng)的加速度峰值；而主梁的豎向振動(dòng)響應(yīng)不考慮人群同步效應(yīng)，故其加速度峰值也不會(huì)超過(guò)完全隨機(jī)狀態(tài)下相應(yīng)的加速度峰值。

因此，即使考慮人群同步效應(yīng)，該橋在豎向和側(cè)向的加速度峰值也均滿足舒適性要求。

3.2.3 考慮人群荷載強(qiáng)迫激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)

人行荷載豎向的平均激勵(lì)頻率約為2 Hz，側(cè)向的平均激勵(lì)頻率約為1 Hz。考慮到在該頻率的荷載作用下，橋梁可能發(fā)生較大的振動(dòng)，故對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)算。計(jì)算時(shí)，取橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比為1.0%，橫向頻率1 Hz，豎向頻率2 Hz，考慮完全隨機(jī)狀態(tài)下，橫豎向同時(shí)加載進(jìn)行計(jì)算。經(jīng)過(guò)計(jì)算分析，得到側(cè)向加速度峰值為0.007 3 m/s2，豎向加速度峰值為0.131 6 m/s2。

與前面計(jì)算的結(jié)果比較，此種工況下的橫向和豎向加速度峰值均比前面大。這是由于在2.032 Hz時(shí)，橋梁主梁的振型為2階橫向整體擺動(dòng)和主梁2階扭轉(zhuǎn)，當(dāng)橫向激勵(lì)頻率為1 Hz和豎向頻率為2 Hz時(shí)，橋梁結(jié)構(gòu)也會(huì)發(fā)生共振，而且橫豎向的振動(dòng)會(huì)相互耦合，加劇結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

在該工況下，橋梁主梁的側(cè)向和豎向加速度峰值均沒(méi)有超過(guò)加速度限制，滿足舒適性要求。

3.2.4 考慮非全橋滿布人行荷載下的振動(dòng)響應(yīng)

在頻率為1.347 Hz時(shí)，橋梁的振型為主梁1階橫向反對(duì)稱(chēng)彎曲和主梁1階扭轉(zhuǎn)。考慮到橫向荷載在兩邊跨反向加載時(shí)，可能會(huì)比同向加載引起更大的動(dòng)力響應(yīng)，故在阻尼比為1.0%時(shí)，計(jì)算橋梁的人致振動(dòng)響應(yīng),得到側(cè)向加速度峰值為0.0014m/s2，滿足加速度限制要求。

在頻率為1.742 Hz時(shí)，橋梁的振型為主梁豎向2階反對(duì)稱(chēng)彎曲。考慮到橋梁只有一邊跨加載，可能比滿跨加載會(huì)引起更大的動(dòng)力響應(yīng)，故在阻尼比為1.0%時(shí)，計(jì)算橋梁的人致振動(dòng)響應(yīng)，得到豎向加速度峰值為0.021 6 m/s2，滿足加速度限制要求。

4 減振預(yù)案設(shè)計(jì)

根據(jù)上述評(píng)估結(jié)果，該中央公園景觀步行橋理論上不會(huì)發(fā)生超越行人舒適性的人致振動(dòng)，但考慮到實(shí)際結(jié)構(gòu)的不確定性以及該橋的重要性，補(bǔ)充設(shè)計(jì)TMD減振預(yù)案，以保證能及時(shí)有效地解決運(yùn)營(yíng)過(guò)程中可能出現(xiàn)的人致振動(dòng)。

4.1 理論基礎(chǔ)

調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)被動(dòng)減振控制體系的一類(lèi)，它由主結(jié)構(gòu)和附加在主結(jié)構(gòu)上的TMD組成。其中TMD包括固體質(zhì)量、彈簧減振器和阻尼器等，它具有質(zhì)量、剛度和阻尼，通過(guò)改變質(zhì)量或剛度來(lái)調(diào)整TMD的自振頻率，使其盡量接近主結(jié)構(gòu)的基本頻率或激振頻率。當(dāng)主結(jié)構(gòu)受激勵(lì)而振動(dòng)時(shí)，TMD就會(huì)產(chǎn)生1個(gè)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)方向相反的慣性力作用在結(jié)構(gòu)上，使主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)衰減并受到控制。子結(jié)構(gòu)在振動(dòng)控制過(guò)程中相當(dāng)于1個(gè)阻尼器。

對(duì)于圖3所示作用力p（t）作用下的單自由度結(jié)構(gòu)體系，其運(yùn)動(dòng)方程為：

圖3 TMD結(jié)構(gòu)示意圖

式中：m、c、k分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；md、cd、kd分別為 TMD 的質(zhì)量、阻尼和剛度；x（t）、x˙（t）、x¨（t）分別為主結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度反應(yīng)；xd（t）、x˙d（t）、x¨d（t）分別為T(mén)MD的位移、速度和加速度反應(yīng)；p（t）為外部激勵(lì)荷載。

當(dāng)p（t）為簡(jiǎn)諧荷載，以主結(jié)構(gòu)最小加速度為優(yōu)化準(zhǔn)則，TMD的頻率比和阻尼比優(yōu)化值如下：

式中：μ為T(mén)MD質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比；ξs為主結(jié)構(gòu)阻尼比；γopt為T(mén)MD優(yōu)化頻率比，即TMD頻率/主結(jié)構(gòu)頻率；ξopt為T(mén)MD優(yōu)化阻尼比。

4.2 TMD參數(shù)設(shè)計(jì)

綜合考慮各階加速度的峰值和振型參與質(zhì)量，決定對(duì)該橋的第7階（1.544 Hz，主梁1階橫向整體擺動(dòng)，主梁1階扭轉(zhuǎn)）進(jìn)行橫向控制，作TMD參數(shù)設(shè)計(jì)，其余各階振動(dòng)不予控制。

全橋總質(zhì)量為3 216 t，第7階橫向振動(dòng)模態(tài)質(zhì)量為 3 216×29.61%=952.26 t，振動(dòng)頻率為1.544 Hz。取主結(jié)構(gòu)的阻尼比為1.0%，根據(jù)加速度最小優(yōu)化準(zhǔn)則，可算得不同質(zhì)量比條件下TMD的頻率比和阻尼比。

將主結(jié)構(gòu)與TMD簡(jiǎn)化成2自由度體系，建立2自由度系統(tǒng)的動(dòng)力微分方程，分析該體系在諧振荷載作用下的時(shí)程反應(yīng)。若為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，則運(yùn)動(dòng)方程為：

對(duì)于上述常系數(shù)非線性的微分方程組，借助MATLAB中Simulink來(lái)建模整個(gè)系統(tǒng)以獲得其數(shù)值解。

由于主結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量較大，為避免對(duì)主結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過(guò)大附加荷載，不宜選用較大的質(zhì)量比。當(dāng)選用的質(zhì)量比 μ=0.2%時(shí)，TMD的質(zhì)量mt=μms=1 904.5 kg，取主結(jié)構(gòu)阻尼比ξs=1.0%，其余的相關(guān)計(jì)算參數(shù)為：ms=952 260 kg，cs=1.85×105kg/s，γopt=1.0，kt=1.79×105kg/s2，ct=1 059.8 kg/s。

采用激勵(lì)荷載p（t）=700 sin（2π×1.554t），主梁加速度時(shí)程如圖4所示，并與沒(méi)有安裝TMD時(shí)的主梁加速度時(shí)程（見(jiàn)圖5）對(duì)比。

圖4 安裝TMD的主梁加速度時(shí)程

當(dāng)安裝有TMD系統(tǒng)后，穩(wěn)態(tài)情況下主梁的加速度峰值從0.036 4 m/s2下降到0.0148 3 m/s2，下降幅度為59.26%，減振效果良好。在工程實(shí)際實(shí)施時(shí)，可以分別在兩邊跨跨中預(yù)設(shè)計(jì)TMD裝置的連接構(gòu)造。TMD的質(zhì)量可取1.9 t，橫向安裝。TMD的具體實(shí)施情況需要根據(jù)成橋后所測(cè)得的橋梁相關(guān)動(dòng)力參數(shù)而定。

圖5 無(wú)TMD的主梁加速度時(shí)程

5 結(jié)語(yǔ)

本文綜合國(guó)內(nèi)外有關(guān)人行橋的人致振動(dòng)研究和設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定，基于簡(jiǎn)化的力學(xué)模型，以某空間曲梁景觀步行橋?yàn)槔紤]不同工況下人群荷載的人致振動(dòng)響應(yīng)，并根據(jù)舒適性評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行人行橋舒適性評(píng)估。結(jié)果表明，該中央公園景觀步行橋理論上不會(huì)發(fā)生超越行人舒適性的人致振動(dòng)，但考慮到實(shí)際結(jié)構(gòu)的不確定性以及該橋的重要性，對(duì)該橋進(jìn)行基于調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（TMD）的減振預(yù)案設(shè)計(jì)。安裝TMD后，該橋主梁的加速度峰值大幅下降，減振效果良好，能有效解決運(yùn)營(yíng)過(guò)程中可能出現(xiàn)的人致振動(dòng)問(wèn)題。