有限的教材，合理的使用

劉宸

摘 要：一直以來，尺規作圖都是教學的難點，一方面是內容過于抽象，對學生的推理能力和逆向思維能力要求較高，另一方面，部分教材對尺規作圖的編排順序存在缺陷，不能很好地貼合學生學情[1].作為一線教師，應當深刻領會教材的編寫意圖，對教學內容有所加工，合理地使用教材.筆者以"畫一個角等于已知角"的教學為例，結合蘇科版數學教材的設計，闡述對這部分內容教學的想法。

關鍵詞：教材設計;教學設計

一、蘇科版教材設計與分析

（一）教材設計。"畫一個角等于已知角"出現在蘇科版教材七年級上冊第六章第二節的第二課時， 是在理解了角的有關概念、認識角的表示和常用的度量單位之后學習的內容.通過本課時的學習，要求學生會用三角尺、量角器、直尺和圓規等畫圖工具畫一個角等于已知角，在折紙活動中理解角平分線的概念，并會用"因為...所以..."的方式進行簡單的計算，推理.教材在沒有學習三角形全等的條件的情況下安排了這一內容，給出了規范的尺規作圖的作法書寫，分五步呈現，并讓學生進行模仿.教師教學用書給出如下建議：在"用量角器畫一個角等于已知角"的基礎上，引導學生分析圖中點D的位置：點D在量角器的邊緣弧上，并且與點C的距離隨著角的大小的確定而確定.通過觀察、探索、交流活動，引導學生歸納"用直尺和圓規作一個角等于已知角"的操作步驟.最后閱讀作圖步驟，畫出相應圖形.[2]

（二）優勢分析。教學設計探究性強.課本在尺規作圖之前進行了舊知鋪墊，讓學生回顧用量角器畫一個角等于已知角其實質是利用量角器的刻度，確定另外一條射線上的點，學生容易分析出作一個角等于已知角的關鍵是確定角的另一邊上除頂點外的任意一點，對學生作圖思路的形成有好處.擯棄傳統教學中的灌輸模式，體現《標準》提出的"在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理"的要求.

（三）缺陷分析

1.內容呈現順序不當。"用尺規畫一個角等于已知角"的原理是構造了一對全等三角形（SSS），使其中一個三角形含有已知角，利用全等三角形的對應角相等這一性質，而教材將這一內容置于"探索三角形全等的條件"之前，使得該尺規作圖缺乏理論支持.學生知其然卻不知其所以然.

2.教學容量大。在尺規作圖之后，緊接著安排了角平分線的概念和求角的計算，并要求學生用"因為...所以..."的表達方式進行簡單說理.由于學生初學幾何，對尺規作圖和幾何語言的書寫需要適應的過程，一課時難以完成諸多教學目標.本課時應分為兩節課來上，第一節課圍繞"作圖"展開，第二節課圍繞"求角"展開.

二、筆者的教學設計

（一）活動一 用一副三角尺可畫哪些特殊角

第一層次：90°，45°，30°，60°這些三角尺自身的角.

第二層次：拼接形成的角度.將三角尺拼成下圖，得到兩個特殊角度75°和15°.

學生可以報出很多特殊角度，教師讓學生盡可能將能拼出的特殊角度找全，并按由小到大的順序排列.

第三層次：學生歸納得出"用一副三角尺可以畫出0°到180°之間的所有15°的整數倍數的角".

問題1 觀察找到的特殊角度，有什么共同特征？

讓學生獨立思考30秒，得出都是15°的倍數.

問題2 在平角180°以內15°的倍數只有你畫的這些角度嗎？

問題設置的意圖是讓學生將沒找全的角度找全，驗證自己的猜想，如果已經找全，則略過.

（二）活動二 用量角器畫一個角等于已知角。問題3 用一副三角板只能畫出0°到180°之間的所有15°的整數倍數的角，如何畫0°到180°之間的任意一個角？

學生回答用量角器.

問題4 請你畫一個角等于∠AOB

學生在小學已經接觸過，用量角器即可完成.先量出∠AOB的度數，再任意畫一條射線O'B'，將量角器的零刻度線對準O'B'，點O'與量角器的中心點重合 ，在量角器相應刻度位置描出一個點A'，連結O'A'并延長 ，則圖2就是所要畫的角.

問題5 你能說明用量角器畫圖的原理嗎？（先獨立思考，再小組討論）

其畫圖的原理是角的定義：角是由兩條具有公共端點的射線所組成的圖形.我們可以先任意畫一條射線DE，要畫∠A'O'B'=∠AOB，關鍵是確定另一條邊O'A'，而要確定射線O'A'，只要確定該射線上除頂點外的任意一點，此時量角器的邊緣弧完成了尋找這一點的任務.即根據角的定義最終轉化為已知一條射線O'A'，確定一個點A'.

（三）活動三 探究如何用直尺和圓規作一個角等于已知角。數學史料：古希臘人的作圖方式比較特殊，幾何作圖全靠手畫，難度很高.輔助畫圖的機械工具不是沒有，只不過希臘人認為這些工具過于依賴感官上的直覺而不太依賴思想上的真理，使用起來頗有在神靈面前作弊的感覺，因此不太瞧得上.希臘人合法的作圖工具只有兩個，直尺和圓規，因為在他們看來，直線和圓是最基本的幾何圖形.這里的直尺跟我們印象中的直尺不太一樣，它沒有刻度，也就是說只能畫線，無法度量長短.希臘人的作圖方法因此被稱為尺規作圖法.

通過介紹尺規作圖的由來，調動學生學習積極性.[3]

問題6 若不用量角器，像古希臘人一樣只用直尺和圓規，你能畫出∠A'O'B'嗎？

在活動二的鋪墊下，學生容易分析出作一個角等于已知角的關鍵是確定射線O'A'除O'點外的任意一點.但學生仍然難以形成作圖思路，這需要全等三角形的有關知識.此時對學生的要求不宜過高，要靠細致的講解讓學生看清每一步操作并學會模仿，等到學生學過全等三角形的相關知識再回顧這個問題，螺旋上升，讓學生在不同的階段有不一樣的收獲.

教師讓學生拿出直尺和圓規，自己在黑板上板演步驟，學生在草稿紙上模仿.

作法：1.以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧分別交OA、OB于點C、D.

2.作射線O'A'，以點O'為圓心，以OC為半徑畫弧C'E交O'A'于點C'.

3.以點C'為圓心，以CD長為半徑畫弧，交弧C'E于點D'.

4.過點D'，作射線O'B'.∠A'O'B'是所求作的角.

操作步驟結束后，讓學生回顧體會每個步驟的目的和意義，加深理解.

問題7 現在你能獨立完成書上的做一做嗎？

讓學生再畫一個角等于已知角，加深對步驟的印象.

（四）小結

問題8 你學會了哪些畫一個角等于已知角的方法？

問題9 如何運用直尺和圓規作一個角等于已知角？在這個過程中，你是如何探索"作法"步驟的？

三、教學后記

筆者連續兩年從事初一數學的教學，第一次教這部分內容時感覺書本內容的編排不合理，學生能理解嗎？于是只是照本宣科，教學效果不佳，第二次教學時改變了教學思路，認真研讀教師參考用書，并查閱相關資料，講解步驟之前融入了一些數學史料，提高了學生學習的積極性.盡管學生仍然不知道這個尺規作圖的原理是利用全等三角形的性質，但通過講解，反思，再次操作的過程，不少學生記住了畫法，至于原理，等到學過全等之后再回顧，相信大了一歲的學生們會頓悟：原來我當初是畫了一對全等三角形！我想這就是教材編者將內容放置在七上的原因，先初步感受，等八上再螺旋上升，讓學生在不同的階段有不一樣的體會.

盡管教材呈現給我們的文字、圖片十分有限，但是背后所蘊藏的深意值得我們去挖掘，它們留給我們思考的空間是無限的，我們應學會合理加工，創造性地使用教材，以達到良好的教學效果.

參考文獻：

[1]詹金芳 方玉芬 鄭志奎知其然 知其所以然"然"何而來--"作一個角等于已知角"的教材分析及作圖思路分析[J].中學數學雜志，2011，8.

[2]楊裕前 董林偉.義務教育教科書 數學 七年級上冊[M].南京：江蘇科學技術出版社，2012，6.

[3]唐小謙.歡樂品數學：愛上你眼中的魔鬼學科[M].北京：清華大學出版社，2018，8.