淺談高職高專極限的運(yùn)算

摘要：極限的運(yùn)算對(duì)于高職高專的學(xué)生們來說，只需要他們能進(jìn)行由基本初等函數(shù)的和、差、積、商所構(gòu)成的初等函數(shù)的極限運(yùn)算就可以了。老師在教學(xué)過程中進(jìn)行了如本文中所敘述的教學(xué)設(shè)計(jì)，這樣學(xué)生們就能很容易地利用函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行極限運(yùn)算了。

關(guān)鍵詞：極限的運(yùn)算;教學(xué)設(shè)計(jì);函數(shù)

為了讓高職高專的學(xué)生很容易地理解函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，并能熟練地進(jìn)行極限的運(yùn)算，教師對(duì)極限的運(yùn)算教學(xué)進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì)。

首先，老師給出函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則，讓同學(xué)們熟悉其內(nèi)容。

定理函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則（以自變量x的變化趨勢(shì)x→x0為例，對(duì)自變量x的變化趨勢(shì)x→∞同樣適用）為：

設(shè)limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則

（1）limx→x0[f（x）±g（x）]=limx→x0f（x）±limx→x0g（x）=A±B;

（2）limx→x0f（x）·g（x）=limx→x0f（x）·limx→x0g（x）=A·B;

（3）limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f（x）limx→x0g（x）=AB（g（x）≠0，B≠0）。

該法則表明兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x）的加、減、乘、除的極限等于它們各自極限的加、減、乘、除。這句話所代表的結(jié)論老師強(qiáng)調(diào)同學(xué)們牢記。而后老師為了幫助同學(xué)們更順暢地應(yīng)用以上運(yùn)算法則，強(qiáng)調(diào)他們需要熟記以下五條重要結(jié)論：

一、 limx→x0x=x0;

因?yàn)楫?dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)y=f（x）=x→x0，所以limx→x0x=x0。

例如：limx→3x=3、limx→-2x=-2。

二、 limx→x0C=C（即常數(shù)函數(shù)y=C的極限等于這個(gè)常數(shù)本身，此結(jié)論對(duì)于自變量x的另外五種變化趨勢(shì)都成立）;

例如：limx→-35=5、limx→33=3、limx→∞1=1。

三、 limx→∞1x=0;

四、 limx→∞1xk=0（k為大于1的正整數(shù)）;

例如：limx→∞1x2=0、limx→∞1x3=0。

事實(shí)上，limx→∞1x2=limx→∞1x·1x=limx→∞1x·limx→∞1x=0×0=0

（應(yīng)用了函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則中的乘法法則）。

五、 limx→x0Cf（x）=Climx→x0f（x）

（即在做乘法的極限運(yùn)算時(shí)，遇到常數(shù)可以直接提前到極限符號(hào)外，此結(jié)論對(duì)于自變量x的另外五種變化趨勢(shì)也適用）。

練習(xí)1求limx→-3（x2-3x+2）。

分析：limx→-3（x2-3x+2）=limx→-3x2-limx→-33x+limx→-32=limx→-3x·x-limx→-33·x+limx→-32=limx→-3x·limx→-3x-3limx→-3x+limx→-32=（limx→-3x）2-3limx→-3x+limx→-32。

因此我們?cè)谟煤瘮?shù)的極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，可以一步到位將需要用的運(yùn)算法則同時(shí)應(yīng)用出來。

解limx→-3（x2-3x+2）=（limx→-3x）2-3limx→-3x+limx→-32=（-3）2-3×（-3）+2=20。

練習(xí)2求limx→-2x-17x3。

解limx→-2x-17x3=limx→-2x-limx→-217（limx→-2x）3=-2-17×（-2）3=356。

練習(xí)3求limx→2x2-4x-2。

分析因?yàn)樗o函數(shù)是分式形式，其中的分母為x-2，且有l(wèi)imx→2（x-2）=limx→2x-limx→22=2-2=0，則不能直接使用函數(shù)的極限的運(yùn)算法則中的除法法則。

事實(shí)上，我們可以將函數(shù)先約分。

解limx→2x2-4x-2=limx→2（x+2）（x-2）x-2=limx→2（x+2）=limx→2x+limx→22=2+2=4。

練習(xí)4求limx→∞4x3+2x2-13x3-5x。

分析在應(yīng)用函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算極限時(shí)，對(duì)于自變量的變化趨勢(shì)為“x→∞”型的分式函數(shù)極限，需要先將函數(shù)的分子、分母同時(shí)除以x的最高指數(shù)次冪。

解limx→∞4x3+2x2-13x3-5x=limx→∞4+2x-1x33-5x2=limx→∞4+2limx→∞1x-limx→∞1x3limx→∞3-5limx→∞1x2=4+2×0-03-5×0=43。

作者簡(jiǎn)介：

鄭曉珍，湖北省襄陽市，襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院。