借助想象 實現幾何概念有效建構
——《認識射線、直線和角》的教與思

林麗琴

（古田縣大橋中心小學，福建 古田 352259）

《認識射線、直線和角》是圖形與幾何知識中最基本的概念之一，也是學生進一步學習角的分類，認識垂線、平行線的基礎。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，在空間觀念教學中應引導學生在觀察、操作、比較、想象、抽象等具體的活動中經歷概念的形成過程，獲得對幾何圖形的認識，發展初步的空間觀念?？臻g觀念的描述提到的“想象”一詞非常重要。心理學把人對頭腦中已有表象進行改造，創造出新形象的過程稱作想象。空間想象就是指以現實世界為背景，對頭腦中已有的幾何表象進行加工改造，創造新形象的過程。數學的想象是一種思維的創造，是學生提煉信息，獲取知識不可或缺的有效途徑和必不可少的一項能力，想象是發展學生空間觀念一個重要策略。

射線和直線的概念在生活中很難找到現實原型，生活中所有直的線都可以稱為“直線”，學生從小聽到的、看到的、摸到的直線都是可以測量出長度的，這些生活原型并不具備射線和直線的數學本質特征。用圖示表示出來的也只能畫出一部分，并不能完整表示出來，直線的圖示跟生活中見到的線段是一樣的。這些特性給學生的認知帶來困擾，［1］如何幫助學生克服認知障礙，把知識內容與形式統一起來，掌握概念本質呢？這就要求教學時超越現實生活的意象，打破常規，讓孩子張開想象的翅膀，引導學生跳出生活，將“有限”向“無限”延伸，從“生活數學”走向“課本數學”，形成幾何概念?；谙胂笤谂囵B學生空間觀念的重要作用和地位，文章從《認識射線、直線和角》的教學設計出發，談一談在此內容的教學中如何借助想象，實現幾何概念的有效建構。

一、借助想象，形成概念表象

小學中高年級學生的思維正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，但這種抽象邏輯思維在很大程度上仍要憑借事物的具體形象或表象［2］。因此，在教學中常常通過現實生活中各種實物去幫助學生理解概念，把眼中看到的“形”轉化為數學課本中的“體”。在教學射線和直線這兩個概念時，筆者注重以想象為支撐，化抽象為具象，區分出生活中和數學中的直的線，構建“無限”空間觀念，引導學生形成概念表象。

片段1：建立射線直觀表象

師：老師要變個魔術，（把激光筆的光線射到門上）你們看到了什么？你們能從這里找到線段嗎？兩個端點在哪里？

生：激光筆的一頭和門上的一點是這條線段的兩個端點。

師：（打開門）大家想象一下，如果這條直直的光線，從這里出發，射向門外，在沒有任何障礙物阻擋的情況下，可能會穿過哪里？

在學生充分討論發言以后，結合課件直觀演示激光筆一端的光線穿過校園、城市、大草原、大海，一直穿過浩瀚的宇宙，延伸到太空。

師：看到這條線，你有什么感受？

生：這條線很長很長，長到無邊無際，看不到盡頭。

師：還能看作一條線段嗎？為什么？

生：不能看成線段了，這條線太長了，在太空中一直延伸，一個端點找不到了。

教師相機板書之后揭示射線的概念：把線段的一端無限延長，就得到一條射線。

思考：在這一片段的學習中，運用激光筆這一直觀教具的演示，把抽象概念具體化了，點燃了學生的想象力，并借助多媒體，讓靜的“點”動起來，學生看到了“射”的過程，當孩子說出“長到無邊無際，看不到盡頭”時，正是孩子借助想象建立了射線的直觀表象，隨著想象，線的一端在無限延長，突破了“無限”這個難點，概念的理解和建構也走向了深刻。

片段2：畫射線，明晰特點

師：剛才我們認識了射線，如果要把射線畫出來，怎樣表示把線段向一端無限延伸呢？請大家想一想，根據你的理解畫一條射線。

展示學生作品后，學生交流每幅作品是怎樣表示線段向一端無限延伸的，互相點評作品。

教師問一個把一端畫到本子邊緣的學生：為什么要畫到邊上？

生：因為射線無限長，只能畫到邊上了，只是本子還是太小了。

教師追問：想象一下，如果這張紙足夠大，無限大，你能畫出整條射線嗎？

生：不能，因為射線是無限長的。

思考：通過讓學生嘗試畫射線，用直觀的形式把想象的形象呈現出來，從射線特征到抽象出圖形，這樣化“動”為“靜”，動靜結合，在畫圖示中體會長度、端點、延伸等問題，并設計了“如果這張紙足夠大，無限大，你能畫出整條射線嗎”這個問題，揭示出“想象”與“圖示表達”之間的矛盾，學生從“畫不完”的想象中，更進一步思考射線的特征，使學生對射線的理解并不只是停留在表象上，對“無限性”本質屬性的內涵的理解就變得更加深刻，做到了“眼中無物，腦中有形”，也為下一步學習直線做好鋪墊。

二、依托想象，溝通概念聯系

在引導學生通過想象主動參與射線和直線概念的生成之后，筆者摒棄了簡單的填表辨析“三線”特征的教學方法，而是以“猜一猜信封里裝著哪種線”的問題為起點，引導學生進行了推理，又一次展開了想象，從而讓學生的數學素養在推理想象中變得更加堅實。

片段3：猜想兩點間的距離

課件呈現信封圖（如圖1）

圖1

師：這兩個信封里藏著一種線，你們猜猜可能是什么線？

學生猜測可能是直線，可能是線段，也有可能是直線。

師：僅僅看到一小部分能猜得準嗎？那我移開一個信封你們可以判斷了嗎？（如圖2）

圖2

師：不可能是什么線？為什么？

生：不可能是直線，因為直線沒有端點。

生：有可能是線段，有可能是射線。

教師移開另一個信封。（如圖3）

圖3

學生發出一陣驚呼：原來是折線。

師：這條折線是連接A、B兩點之間的線，還可以用哪些線連接這兩點？請上來畫畫。

結合學生的板畫，教師進一步啟發學生思考：仔細觀察一下，這兩點所有連線當中最短的是哪條線？

生：最短的是最直的那條線段。

課件揭示定義：像這樣連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離。

思考：猜想是創新的第一步，是發展學生數學思維的的重要措施。信封雖小，想象的空間卻很大，要判斷信封里裝的是什么線，學生要結合三種線的特征進行合情推理。筆者再次梳理了根據端點個數和長度來判斷三種“線”的方法，也進一步促進學生對概念核心的理解，完善了知識體系。在這個過程當中，想象層層遞進，在想象中辨析，在辨析中進一步溝通了聯系，分辨了易混概念，并由線段的長短自然而然引出“兩點之間的距離”這個概念，獲得了新知。

三、憑借想象，理解概念本質

“角”的概念教學中，“角的大小與邊的長短無關”是教學重難點，如果以靜止不動的方式引導學生學習，那么學生學到的是冰冷的、毫無生機的文字定義。教師不僅要關注學生掌握知識的過程，更要關注學生學習的思維方式，在學習中借助想象的力量，可以調動學生學習興趣，引發學生火熱的思考。

片段4：理解角的概念

課件演示（如圖4），這個信封露出了一個點，你猜信封里可能藏著什么圖形？

圖4

生1:射線。

生2：線段。

生3：可能和之前一樣，什么線也不是。

課件演示信封旋轉，露出一條射線，再以射線的端點為中心，繼續旋轉射線，形成一個角。（如圖5、圖6）

圖5

圖6

師：這是什么圖形？

生：這是一個角。

師：怎么樣才能畫出一個角？角由誰組成？

生：要先畫一條射線，再畫另一條射線。角由兩條射線組成的。

教師揭示角的定義：從一點引出兩條射線所組成的圖形叫作角。

課件演示延長角的兩條邊，邊啟發學生思考:這兩條邊能延長到多長？如果我們把角的兩條邊無限延長，延長以后角的大小有改變嗎？為什么？

生：因為組成角的這兩條邊是射線，射線是無限長的，所以角的大小不變。

思考：借助旋轉信封的方式引出角的概念，使得原本枯燥而乏味的概念學習變得生動且鮮活，學生理解了從一點引出兩條射線組成角之后，通過想象角的兩條邊無限延長，感知角的大小與邊的長短無關，與兩條邊叉開的大小有關。這個過程觸及了概念的本質，進一步印證了射線的一端可以無限延長，使角的概念真正在學生的腦海中“刻”了下來，更有助于學生理解平角、周角的概念，對后續擴展角的概念學習也有好處。

愛因斯坦說過:“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切、推動著進步，并且是知識進化的源泉?！毕胂?，是發展學生空間觀念的重要思維活動，幾何概念教學正是以培養學生思維為重點。因此，要調動學生的多種感官來豐富學生對幾何概念的理解，想象應該是教師值得嘗試的一種教學手段，它是啟迪學生思維、激發學習興趣和突破難點的有效策略。課堂教學中，教師要結合具體內容，立足數學概念本質，使想象這種思維方式成為由表及里、由淺入深在學生內心深處“扎根”“發芽”“生長”，成為學習數學的自覺力量。