概率的特點(diǎn)與求解策略

王 暉

(安徽省靈璧縣黃灣中學(xué) 234213)

一、概率題的特點(diǎn)

1. 考查的類型

從近年來各地的中考試題來看，有關(guān)概率的試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)事件，頻率與概率的關(guān)系，通過計(jì)算預(yù)測(cè)隨機(jī)事件的概率，以及概率的應(yīng)用.

2. 試題特點(diǎn)

(1)概率試題的題量大致為1～2題，約占全卷的10%左右，試題難度多為容易題或中等題.

(2)概率試題的背景，大多貼近日常生活實(shí)際，讓人感到親切、真實(shí)，充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文教育精神.

(3)概率試題具有一定的應(yīng)用性和趣味性，充分體現(xiàn)了在玩樂中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)這一理念.

二、考題類型舉例分析

1. 判斷事件的可能性

例1 4個(gè)紅球、3個(gè)白球、2個(gè)黑球放入一個(gè)不透明的袋子里，從中摸出8個(gè)球，恰好紅球、白球、黑球都能摸到，這件事情( ).

A. 可能發(fā)生 B. 不可能發(fā)生

C. 很可能發(fā)生 D. 必然發(fā)生

解析 因?yàn)槿N球共有9個(gè)，而且沒有一種球有8個(gè)，也沒有2種球的和為8個(gè)，所以若摸出8個(gè)球，三種球都能摸到是必然事件.應(yīng)選D.

例2 (2018沈陽)下列事件中，是必然事件的是( ).

A. 任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)

B. 13人中至少有兩個(gè)人生肖相同

C. 車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈

D. 明天一定會(huì)下雨

解析 座位號(hào)有奇數(shù)和偶數(shù)，故“任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)”是隨機(jī)事件；一共12生肖，故“13人中至少有兩人生肖相同”是必然事件；車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈，還可能遇到黃燈，故C中的事件是隨機(jī)事件；明天可能下雨，也可能下雨，則選項(xiàng)D中的事件是隨機(jī)事件.故應(yīng)選B.

例3 (2018襄陽)下列語句所描述的事件是隨機(jī)事件的是( ).

A. 任意畫一個(gè)四邊形，其內(nèi)角和為180°

B. 經(jīng)過任意兩點(diǎn)畫一條直線

C. 任意畫一個(gè)菱形，是中心對(duì)稱圖形

D. 過平面內(nèi)任意三點(diǎn)畫一個(gè)圓

解析 任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和都為360°，故選項(xiàng)A中的事件是不可能事件；兩點(diǎn)確定一條直線，故選項(xiàng)B中的事件是必然事件；菱形都是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)C中的事件是必然事件；即A、B、C中的事件都是確定事件.不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，而在同一條直線上的三點(diǎn)無法確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)D中的事件是隨機(jī)事件.所以應(yīng)選D.

2. 研究頻率與概率的關(guān)系

概率被我們用來表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，對(duì)事件可能性的大小的感覺通常來自觀察這個(gè)事件發(fā)生頻率，即該事件實(shí)際發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值.但是在相同的條件下，在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)后，事件出現(xiàn)的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定，穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計(jì)值.

例4 為了調(diào)查宿州市今年有多少名考生參加中考，小聰從全市所有家庭中抽查了200個(gè)家庭，發(fā)現(xiàn)其中10個(gè)家庭有子女參加中考.

(1)本次抽查的200個(gè)家庭中，有子女參加中考的頻率是多少？

(2)如果你隨機(jī)調(diào)查一個(gè)家庭，估計(jì)家庭有子女參加中考的概率是多少？

(3)已知宿州市約有1.3×106個(gè)家庭，假設(shè)有子女參加中考的每個(gè)家庭中只有一名考生，請(qǐng)你估計(jì)今年全市有多少名考生參加中考？

3. 通過計(jì)算預(yù)測(cè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率

(1) 通過計(jì)數(shù)計(jì)算概率

例5 若從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4、，將它們背面朝上，分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張，那么摸出的兩張牌的牌面的數(shù)字之和等于5的概率是多少？請(qǐng)你用列舉法(列表或畫樹狀圖)加以分析說明.

解析 可用列表法列出所有的可能得到的牌面數(shù)字之和：

黑桃1黑桃2黑桃3黑桃4方塊11+1=22+1=33+1=44+1=5方塊21+2=32+2=43+2=54+2=6方塊31+3=42+3=53+3=64+3=7方塊41+4=52+4=63+4=74+4=8

(2)通過長(zhǎng)度、面積、體積公式求概率

例6 某商場(chǎng)進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：購買500元商品就可以獲得一次轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)(轉(zhuǎn)盤分為5個(gè)扇形區(qū)域，分別是特獎(jiǎng)彩電一臺(tái)，一等獎(jiǎng)自行車一輛，二等獎(jiǎng)圓珠筆一只，三等獎(jiǎng)卡通畫一張及不獲獎(jiǎng))轉(zhuǎn)盤指針停在哪個(gè)獲獎(jiǎng)區(qū)域就可以獲得該區(qū)域相應(yīng)等級(jí)獎(jiǎng)品一件.商場(chǎng)工作人員在制作轉(zhuǎn)盤時(shí)，將獲獎(jiǎng)扇形區(qū)域圓心角分配如下表：

獎(jiǎng)次特等獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)圓心角1°10°30°90°

①獲得圓珠筆的概率是多少？

②如果不用轉(zhuǎn)盤，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種等效實(shí)驗(yàn)方案(要寫清楚替代工具和實(shí)驗(yàn)細(xì)則).

②可采用“抓鬮”或“抽簽”的方法代替.規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱子里放入360個(gè)除標(biāo)號(hào)不同外，其它都一樣的乒乓球，其中一個(gè)標(biāo)“特”，10個(gè)標(biāo)“一”，30個(gè)標(biāo)“二”，90個(gè)標(biāo)“三”，其余的不標(biāo)數(shù)字，摸出標(biāo)有哪個(gè)獎(jiǎng)次的乒乓球，則獲獎(jiǎng)相應(yīng)等次的獎(jiǎng)品.

4.隨機(jī)事件概率的應(yīng)用

了解事件發(fā)生的概率，有利于決策者對(duì)問題的解決作出合理的選擇.解決這類問題的一般方法是：從實(shí)際問題中抽象出概率的模型計(jì)算概率，然后根據(jù)概率的大小作出合理的決策.

例7 有一個(gè)拋兩面硬幣的游戲，規(guī)則是：若出現(xiàn)兩個(gè)正面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；若出現(xiàn)兩個(gè)反面，則甲、乙都不贏.

(1)這個(gè)游戲是否公平？請(qǐng)說明理由.

(2)如果你認(rèn)為這個(gè)游戲不公平，那么請(qǐng)你改變游戲規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲；如果你認(rèn)為這個(gè)游戲公平，那么請(qǐng)你改變游戲規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)不公平的游戲.

(2)游戲規(guī)則一：若出現(xiàn)兩個(gè)相同面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；

游戲規(guī)則二：若出現(xiàn)兩個(gè)正面，則甲贏；若出現(xiàn)兩個(gè)反面，則乙贏；若出現(xiàn)一正一反，則甲、乙都不贏.

例8 (2018黃岡)在-4,-2,1,2四個(gè)數(shù)中，隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別作為函數(shù)y=ax2+bx+1中a,b的值，則該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限的概率為____.

點(diǎn)評(píng) 二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限需滿足：(1)開口向上；(2)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)與y軸交于正半軸；(4)對(duì)稱軸在y軸右側(cè).