初中數學中數形結合思想的實例研究

☉江蘇省張家港市錦豐初級中學 王 莉

隨著教育模式的改革及社會的不斷發展，培養人才的體制也在不斷進行改革.因此在初中數學教學過程中，教師應更注重培養學生的數學思想而不是注重應試教育，以全面掌握教材知識為前提、以理解數學概念為基礎、以熟練并靈活運用數學知識為目標，全方位鍛煉學生的數學思維.數形結合思想是初中數學重要的思想之一，代數與圖形的結合會使學生對知識點的理解更加清晰、明了，也會加深對知識的印象.數形結合不僅可以將抽象的代數知識轉化為圖形，更直觀地展示題目中已知條件的含義，還能將圖形信息轉換為代數求解，以便于分析圖形中線、角之間的關系.因此，教師在教學中應多鍛煉學生的轉化思維思，培養學生的數形結合思想.

一、數形結合思想的意義

目前，數形結合思想已經滲透進初中數學教學的各個方面，如勾股定理、方程、不等式、函數、概率與統計等知識點中都有所涉及，教師可以充分利用數與圖的靈活變換，將知識更好地展示給學生，并在此過程中活躍課堂氣氛，調動學生學習的積極性，有效培養學生的數學思維；也能提高學生的直觀想象能力，從而更加清晰、明了地分析幾何問題、函數問題等.因此數形結合思想作為初中數學的一種重要教學手段，需要廣泛應用于各個教學內容中.

二、如何應用數形結合思想的教學策略

如何在初中數學課程教學中應用數形結合思想一直是研究的重要課題，本文主要從三個方面入手.首先，從基礎知識教學時教師就要先導入此思想，讓學生從一開始就養成良好習慣，將數與形結合起來思考問題；然后根據教材的特點及以往的授課經驗，將初中數學內容整合，將可以應用數形結合思想的模塊作為特殊的教學內容展開教學；最后進行鞏固升華，通過課堂練習及課后復習的方式結合實際生活將數形結合思想充分結合到初中數學的教學內容中.

（一）數形結合思想的導入

好的開始是成功的一半，數形結合如何導入到初中課堂是最關鍵環節，讓學生最開始就意識到可以應用圖形表達數，讓很多抽象的數學定義可以直觀地應用圖像來表達.在講解正負數時，是最好的導入此思想的課程，首先講解什么是負數，負數、0與正數之間的關系，以及負數之間大小的比較.如在比較負數大小時，學生因為正數的影響，很容易將兩個知識點混淆，比較-4與-2時，自然的第一反應是-4＞-2，但其實是錯誤的.因此教師可以畫出數軸，講解數軸上數的特征，再進行負數的教學.

圖1

根據正數的規律可以得出，數軸上的數是從左到右依次遞增的，因此在比較負數大小時，絕對值越大的負數值越小，所以-4＜-2.教師應用數軸就可以直觀地展示出數與數之間的關系，從而讓學生有了更清晰的認知，也讓學生第一次接觸了數形結合思想，并體會到數學思想的重要性.

例1實數a、b在數軸上的位置如圖2所示，化簡

圖2

由數軸上a、b的位置可以得到a＜0，b＞0，且a＜b.則

除此之外，坐標軸講解時也要重點介紹其作用，不僅要讓學生熟悉象限、坐標，更為以后各種函數知識的學習打下牢固的基礎.

（二）數形結合思想的展開

數形結合可以應用到多種情況中，教師要從不同類型展開講解，這樣學生在遇到類似的題型時可以快速想出數形結合的方法.

1.應用數量關系求解面積

截長補短是解析幾何中常用的方法之一，這種方法同樣可以遷移到幾何圖形面積的求解中.可以先將不規則的幾何圖形劃分為規則的三角形、梯形、正方形，再依次求解其面積并求和；或者將較難求解的幾何圖形在方格中填成矩形或梯形，先求解大圖形的面積，再將補充的幾個圖形的面積減去即為所求.這種利用數量關系求解面積的方法是初中數學中求解幾何問題的基礎方法之一.

例2△AOB中點A的坐標為（6，1），點B的坐標為（4，3），求解△AOB的面積.

圖4

2.方程、不等式與函數中數形結合思想的應用

解決方程與函數最好的輔助工具就是圖像，圖像可以直觀、清晰地表示出函數的特征、性質及兩個函數之間的關系等.因此學生要鍛煉根據函數畫相應圖像的能力，既能加快學習的效率，又能提高直觀想象能力.

例3用圖像法解某二元一次方程組時，在同一直角坐標系中作出相應的兩個一次函數的圖像（如圖5所示），則所解的二元一次方程組是（ ）.

圖5

分析：根據圖像中兩個函數的交點和兩條直線與坐標軸的交點，可得兩直線的解析式.

例4 對于任意實數a，都滿足x2-5x+6＞a-1，求實數a的取值范圍.

已知條件為x2-5x+6＞a-1，其中包含兩個未知函數，若應用數量關系想求出a的取值范圍，肯定會包括x，因此就要轉換x2-5x+6＞a-1為y=x2-5x+6與y=a-1兩個函數的圖像，通過觀察圖像的位置特點，判斷y=x2-5x+6要始終在y=a-1這條直線的上方.所以只要求解出二次函數y=x2-5x+6的最小值，就可以求出a的范圍了.

在這一教學環節中，一定不要追求學生掌握知識的速度，而是要循序漸進、潛移默化地一步步引導學生，將正確的思維方式慢慢吸收成為自己的知識體系，從而挖掘出這類題型中的數學思想.教師要不斷鼓勵學生，讓學生自主發現題目中的關鍵，進而形成解題思路，這樣的過程有利于學生開拓數學思維，提高學習效率.

（三）數形結合思想的鞏固與升華

在學生充分理解數形結合思想的應用之后，教師要帶領學生進行鞏固練習與升華.教師要引導學生從實際生活出發，將數形結合思想應用到實際問題中，如銷售類應用題、概率與統計類問題及生活常識類問題等，讓學生體會到數學對于生活的實際意義.

例5 某人從A地向B地打長途電話6分鐘，按通話時間收費，3分鐘以內收費2.4元，此后每加1分鐘加收1元，則表示電話費y（元）與通話時間（分）之間的關系的圖像正確的是（ ）.

例題答案：3分鐘以內都是2.4元的話說明，前3分鐘的圖像是一條過點（0，2.4）且平行于x軸的直線，所以排除B、D；然后以后每分鐘加收1元，不到1分鐘也是1元，所以應該是分段函數，并且后幾個分段函數是左開右閉，因此選擇C.

綜上所述，初中數學中，數形結合思想對于學生理解數學基礎知識有著非常重大的作用.教師在課堂上要靈活應用圖形與代數的轉換，讓學生充分理解數量與圖形之間的聯系，進而培養學生的數學思維能力，提高課堂效率，促進學生全面發展.