巧用三角函數證幾何題

☉山東省濟南市萊蕪區雪野鎮中心中學 孫 鳳

引例如圖1所示，在正方形ABCD中，點M為CD邊的中點，點N為BC邊靠近點C的四等分點，連接AM、MN.試判斷AM、MN的位置關系并說明理由.

圖1

圖2

解答本題的常規方法是連接AN，如圖2所示，利用勾股定理的逆定理求解.為了證明簡捷，不妨設正方形的邊長為4，則DM=CM=2，CN=1，BN=4-1=3.在Rt△ADM中，由勾股定理，得AM2=AD2+DM2=42+22=20；在Rt△CNM中，由勾股定理，得MN2=CM2+CN2=22+12=5；在Rt△ABN中，由勾股定理，得AN2=AB2+BN2=42+32=25.則AM2+MN2=AN2.由勾股定理的逆定理知△AMN是直角三角形，且AN為直角三角形的斜邊，則AM⊥MN.

注意到△ADM和△MCN中都有直角，聯想到三角函數，因此本題還可以利用三角函數知識進行證明.在△ADM中，則tan∠DAM=tan∠CMN.顯然∠DAM和∠CMN都是銳角，則∠DAM=∠CMN.則∠DMA+∠CMN=∠DMA+∠DAM=90°，則∠AMN=90°，即AM⊥MN.

從上面的三種證法可以看出，本題應用相似和三角函數的證明方法比較簡捷.而應用三角函數的證法又優于相似，原因在于，應用三角函數證明時，只需看兩個角的對邊與鄰邊之比是否相等，如果相等即可判斷這兩個角相等，而利用相似的方法時，需要先證明兩個三角形相似，然后根據相似三角形的對應角相等得到角的相等關系，不僅麻煩，而且在找對應角時稍不留神容易出錯.所以對于兩個直角三角形而言，能用三角函數時盡量應用三角函數知識解決問題，一般情況下少用相似知識.另外，由于教材中關于三角函數這部分內容，無論是教材例題還是課后練習題和復習題，僅涉及三角函數的計算或解三角形的問題，沒有涉及利用三角函數證明幾何題的問題.基于這個原因，大部分學生認為三角函數只是用來解三角形這類代數問題.事實上，對于一些幾何題，如果能夠巧用三角函數，可使幾何問題獲得簡捷的證明，收到事半功倍之效.下面以例子分類說明.

一、證明兩條線段相等

例1 如圖3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，BE和AM分別是△ABC的角平分線和高，且BE和AM相交于點D，過點D作BC的平行線交AC于點F.求證：AE=CF.

分析：由BE 是△ABC 的角平分線，可得∠ABE=∠CBE.∠ABE+∠AEB=90°，∠CBE+∠BDM=90°，根據“等角的余角相等” 可得∠AEB=∠BDM.又∠BDM=∠ADE，則∠AEB=∠ADE，進而AD=AE.下面只要證明AD=CF即可.由于BE是△ABC的角平分線，聯系到角平分線的對稱性，于是可以BD為對稱軸，構造△NBD，使△ABD與△NBD全等.如圖4所示，在邊BC上取一點N，使AB=BN，根據“邊角邊”可得△ABD△NBD，則AD=DN，∠BAM=∠BND.易證∠BAM=∠C，則∠BND=∠C，則DN∥AC.又DF∥BC，則四邊形DNCF是平行四邊形.則DN=CF.則AE=CF.這種證法需要添加輔助線，證法也比較麻煩.如果利用三角函數證明，不需要添加輔助線，比較便捷.

圖3

圖4

證明：由BE是△ABC的角平分線，得∠ABE=∠CBE.設∠ABE=∠CBE=α，則∠ABC=2α=∠CAM.

則DM=ABcos2αtanα.

則AD=AM-DM=ABsin2α-ABcos2αtanα.

則CF=AC -AF=ABtan2α -（ABtan2α -ABtanα）=ABtanα=AE.

即AE=CF.

點評：可以看出，將相關線段用三角函數表示出來，這樣一道看似難以證明的幾何題變成了一道三角函數計算題，降低了證明難度.

二、證明一條線段等于兩條線段之和（或差）

例2 如圖5，在△ABC中，AB=AC.過點C作AB邊上的高CD，點P是BC的延長線上一點，過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：PE-PF=CD.

圖5

圖6

分析：本題若按常規方法，可過點C作CQ⊥PE于點Q，如圖6所示，則四邊形CDEQ是矩形，則CD=EQ.接下來只需證明PQ=PF，這可通過證明Rt△PCQRt△PCF來實現，從而問題得證.當然也可通過三角形相似來證明.根據已知條件易證Rt△PEBRt△PFCRt△CDB.由相似三角形的對應邊成比例，得.由等比定理，得.則PE-PF=CD.另外本題還有一種比較簡單的證明方法——面積法.如圖7，連接AP.觀察圖形不難發現△ABC、△ABP、△ACP的面積之間具有如下關系：S△ABC+S△ACP=S△ABP.又.又AB=AC，則CD+PF=PE，即PEPF=CD.可以看出，面積法是一種比較簡單且學生容易接受的方法，但不如用三角函數的方法證明簡捷.

證明：如圖5，在Rt△BCD中，sin∠B=，則CD=BCsin∠B.

顯然∠B=∠PCF，則PF=PCsin∠B.

而BC+PC=BP，則BCsin∠B+PCsin∠B=BPsin∠B，即CD+PF=PE.則PE-PF=CD.

點評：無論是面積法還是利用三角函數的方法，都是代數方法，都是證明本題的簡捷方法.相對來說，利用三角函數的方法證明本題，過程更加簡捷.

圖7

圖8

三、證明兩條線段的平方的倒數之和等于另一條線段的平方的倒數

例3 如圖8，點E是正方形ABCD的邊BC的延長線上一點，連接AE交BC于點F.求證.

證明：易證∠E=∠EAB.設∠E=∠EAB=α.

點評：證明本題，首先要注意對待證式進行變形.在將待求式變形為=1的形式后，將此式與三角函數的基本公式sin2α+cos2α=1進行類比，自然想到利用三角函數的方法進行證明.

四、證明線段的平方等于線段乘積之和

例4如圖9，已知△ABC與△ABD交于點E，且∠C=∠D=90°，過點E作EF⊥AB于點F.求證：AB2=AE·AD+BE·BC.

圖9

分析：本題若按常規方法，可以利用三角形相似證明.易證△AEF△ABD，△BEF△BAC.則.則AE·AD=AB·AF，BE·BC=AB·BF.則AE·AD+BE·BC=AB·AF+AB·BF=AB（AF+BF）=AB2，即AB2=AE·AD+BE·BC.當然，也可利用三角函數的方法進行證明.

證明：設∠DAB=α，∠CBA=β.

點評：本題雖然用到了兩個角的三角函數，但它們在證明過程中可以抵消.

以上我們從四個方面談論了三角函數在證明幾何題時的應用.可以看出，應用三角函數證明幾何題時，只要將相關的線段用關于某條線段的三角函數表示出來，然后代入待證式的兩邊，必要時可以應用三角函數的一些基本公式，如sin2α+cos2α=1，sin（90°-α）=cosα等，只需證明待證式的兩邊相等即可，這實際上是將原幾何證明題變成了一道代數計算題，大大降低了證明難度.但愿這種方法對學生證明幾何題有所幫助！