構建數學模型，培養核心素養
——探究初中數學路徑最短問題的解決策略

☉山東省東營市實驗中學 于春梅

工作十余年，越來越感到，數學思維能力直接影響著人生更多方面的發展.有的學生會因為數學學不好，而狂報補習班，占用了大量休息和思考的時間；有的學生怎么學也學不會，選擇放棄；有的學生對數學有著極強的興趣，卻成績平平，難過不已.歸根結底，我覺得最重要的是數學學習的方法和基本的思維模式，以及到最后形成的數學思維能力，這才是學生學習數學最根本的東西.有這樣一句俗語：“進考場，雙肩頂著腦袋，強大的腦袋才是致勝的法寶.”其中，強大的腦袋說白了就是強大的數學思維能力.基于此，我漸漸地摸索，嘗試各種教學方法，更加用心研究數學學習中所需要的各類數學思想方法，為學生不同學習階段數學思維能力的養成和提升做足了工作，尤其是在初三學生升入高中之前，在數學的整體復習中，數學建模思想的滲透更顯得生龍活虎，為學生思維能力的提升注入了新鮮活力.以下是我在幫助學生進行專題復習“路徑最短問題”時的幾個做法.

一、引領學生分清類型，滲透建模意識

作為數學教師，我們都清楚地知道，幾何知識的學習顯而易見承擔著對學生邏輯思維能力、推理論證能力、解決問題能力培養的任務.因此，我更加用心地抓住每一次復習幾何的機會，借助幾何復習，幫助學生快速提升思維能力.我們知道，幾何問題的攻破，最重要的是方法，題目可以千變萬化，方法卻固若金湯，方法就是學生應對千變萬化的法寶.因此，幫助學生歸納、總結方法，成為了學生整體思維提升最重要的途徑.于是我在“路徑最短問題”的教學中，做了以下幾項工作；

（一）厘清路徑最短問題的類型

通過厘清初中幾何中出現的這類知識，我和學生一起總結出初中幾何中一共有兩大類問題：一是兩點之間線段最短問題，二是點到直線之間垂線段最短的問題，基本圖形如圖1所示：

圖1

（二）厘清在幾何問題中呈現的方式

方式1：呈現在平面幾何問題中

例1如圖2，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含點B）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（2）①當點M在何處時，AM+CM的值最??？

②當點M在何處時，AM+BM+CM的值最?。坎⒄f明理由.

圖2

圖3

例2如圖3，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短？

方式2：呈現在立體幾何問題中

例3如圖4，一只螞蟻沿著棱長為2的正方體表面從點A出發，經過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為______.

圖4

二、幫助學生針對類型，構建數學建模能力

幫助學生厘清類型之后，開始逐個攻破，在攻破的過程中，滲透建模思想，進而建立數學建模的思維能力.

（一）不論是在平面上還是在立體中，直接使用“兩點之間，線段最短”

例1為平面中的直接使用“兩點之間線段最短”來解決的問題.

例1 第（2）問的①，是典型的直接求A、C兩點之間的距離，學生可以直接解決，而第（2）問的②經過分析之后，學生的建模思想開始起作用，明確問題化歸為求E、C之間的距離，即兩點之間線段最短的實質，自然呈現，因此學生的思維即可達到問題解決的途徑上來，只需要E、N、M、C四點共線，學生的認知水平、思維能力也順次提升.

例3 為立體幾何中的直接使用“兩點之間線段最短”來解決的問題.

例4景泰藍廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如圖5，圓柱體高為6cm，底面圓周長為8cm，如果將金線的起點固定在點A，繞一周之后終點為點B，則金線的用量最少為______.

例5如圖6，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點，從點A出發繞側面一周，再回到點A的最短的路線長是（ ）.

D.3

圖5

圖6

在立體幾何中，這些例子非常具有代表性，這些問題的解決，不僅僅讓學生學會了借助轉化的數學思想方法，將立體幾何問題轉化成平面幾何問題，又滲透了數學建模思想，逐漸讓學生建立起數學建模思維方式.

（二）不論是在平面上還是在立體中，間接使用“兩點之間，線段最短”和“點到直線之間，垂線段最短”來解決問題

例2 是最常見的距離和最短問題.

所有這類例子，學生都經過了運用軸對稱的知識，將其中的一條線段，通過對稱，順利達成了兩條線段在一條直線上的目的，實現了兩點之間線段最短的本質體現，從而解決了問題.這類題目，我們簡稱為“距離和最短問題”，其本質是兩點之間線段最短，學生理解了本質之后，就知道了具體做法的道理，因此，對這類題目的解決順理成章.這類題目更多地出現在幾何題目中，而且不斷發生著變化.

例6問題探究：

（1）如圖7，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm，E為邊BC的中點，P為BD上一個動點，求PC+PE的最小值；

（2）如圖8，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上一個動點，P為BD上一個動點，求PC+PE的最小值；

問題解決：

（3）如圖9，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上一個動點，P為BD上一個動點，求PC+PE的最小值.

圖7

圖8

圖9

例6的探究與解決，讓學生通過實際的例子，感受到距離和最短問題模型的使用，同時在第（2）問中又進一步結合“點到直線之間垂線段最短”的道理解決.最后一問，將知識進一步融合，同時借助了其他的幾何推理知識解決了問題，拓展題目、變式題目讓學生不斷體會運用數學模型解決問題的辦法，不僅僅在方法上得到了提煉，思維能力也一并提升，達到了方法與思維雙贏的效果.

圖10

例7已知：直線y=x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且點B的坐標為（1，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形且以P為直角頂點時，求點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-MC|的值最大，并求出點M的坐標.

例7的探究與解決，讓學生充分體會知識之間的聯系，和“距離和最短問題”解法的遷移，達到思維的拓展，從而解決了“距離差最大的問題”，讓學生的思維能力進一步融入學生的數學思想方法體系中.

例8如圖11，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計）.

圖11

例8的探究與解決，讓學生充分體會從立體幾何轉化到平面幾何的過程，讓學生學會了如何借助平面幾何問題的解決辦法來解決立體幾何問題，其實最終是基本圖形發揮了作用，數學建模思想又一次得到體現，學生的數學建模思維能力又一次得到構建，從而真正促進了數學思維能力的提升.

老師不僅僅是傳道授業解惑者，更是學生成長過程中的指導者、引路者，在學生每一個需要我們的階段，我們都可以盡己所能幫助學生.對于今天乃至將來要在學業上有所成就的學生來說，思維能力的構建是第一位的，我們幫助他們建立強大的思維能力義不容辭，因此需要我們潛心研究，用心琢磨，專心助力他們走向成功.今天這節關于“路徑最短”問題的探究和研究，讓我們努力將數學建模思想進一步滲透，也努力幫助學生將數學建模思維構建起來，學生的數學思維能力得到了極大的提升和拓展，思維之花綻放得更加燦爛、絢麗.