初中數學一元一次方程應用題解題研究

☉江蘇省如東縣河口鎮直夫初級中學 丁麗娟

在初中內容體系中，方程是教學重點，結合現實問題背景的方程應用題可以培養學生分析問題、解決問題的能力.同時，這部分內容也是教學難點，因為問題背景復雜，在變量設置等環節學生容易出現錯誤.如何幫助學生鞏固好方程思維與原理，靈活地解決相關的應用題，這是廣大初中數學教師需要考慮的.新課程標準指出，方程相關的應用題，考查的是學生從現實問題背景中抽象出數學原理，再通過方程的思維方法去解決現實問題，強化理論應用的能力.因此，在教學與訓練過程中，教師的教學重點應該是從現實問題背景中抽象出方程模型，而不是方程的求解，即聚焦于方程模型的構建過程，以此促進學生以方程原理為基礎，以問題為導向，通過自主探究，強化學生的知識應用能力，提高學生學習與探索的主動性.

一、知識點銜接

應用題并不是孤立的知識板塊，它是基于諸多基本數學內容、方法，以解決現實問題為導向的數學應用，重要的特點是不同知識點之間的聯系與銜接.在教學過程中，銜接不僅體現在知識內容層面的聯系性，還體現在思考問題的方式、解決問題的方法的銜接，通過這樣的教學過程強化學生思考問題與解決實際問題的系統性.

1.方程與代數式

應用題最顯著的特征就是數學原理、方法與現實問題背景的結合，而這些問題背景的呈現形式多為文字描述，在解決這些問題之前，需要學生從已知的表述中提取有用的數學信息，將文字轉化成數學符號語言，這一過程中就需要使用代數式來表示相關的數量關系，這也是列方程式解決問題的基礎，只有找準了各個量之間的數量關系，方程的羅列才是準確的.在解決方程應用題時，借助代數式將文字內容轉化成數學語言是最關鍵的一步，這也是解所有數學應用題的重要步驟，是構建數學模型、求解數學模型的基礎.

2.方程與函數

在中學數學中，方程與函數是緊密聯系的，在一些函數問題的解決過程中，我們可以借助方程的思想方法.比如，在使用待定系數法求解函數的解析式時，就可以將問題轉化成解方程組，進而求解出相關的系數.

3.一元、二元方程

方程問題和其他內容板塊有著密切的聯系，與此同時，不同形式的方程問題之間也可以相互轉化.如果問題中只含有一個未知數，那么就可以借助一個等量關系，構建一元一次方程進行求解；如果含有兩個未知數，那么相應地就需要尋找兩個等量關系，構建二元一次方程組來進行求解.然而，在許多情況下，如果已知信息含有兩個，并不一定要采用二元一次方程組進行求解，可以選取合適的未知數和等量關系列一元一次方程，借助代入消元的思想方法實現二元一次方程組向一元一次方程組的轉化.

二、案例解析

1.簡單“和差倍分”問題

案例1：某商品今年上半年的銷售數量為200萬件，比去年同期的2倍少10萬件，試求解去年上半年該商品的銷售數量.

分析：這道題比較簡單，根據已知信息提供的兩個階段銷售量之間的數量關系，可以構建一元一次方程進行求解.

解：設去年上半年該商品的銷售數量為x萬件.

2x-10=200.

2x=210.

x=105.

答：去年上半年該商品的銷售數量為105萬件.

典型錯誤：這是一道方程應用題，但是有部分學生還是采用小學時學習的算術方法，雖然也設了未知數，看起來是方程的形式，但是并沒有參與運算.在這類簡單的問題中，直接進行算術計算和列方程求解區別不大，但是這是解決復雜問題的基礎，只有培養好學生的方程思維方式與能力，在解決更復雜的應用題時，才能應用好方程方法.典型錯誤如下：

解：設去年上半年該商品的銷售數量為x萬件.

則x=(200+10)÷2.

x=105.

答：去年上半年該商品的銷售數量為105萬件.

2.雙數量關系方程問題

在部分應用題中，存在兩個變量和數量關系.在學習二元一次方程之前，學生仍然可以通過一元一次方程的方法進行求解.

案例2：如果買1本筆記本和1支鋼筆，總費用為6元；如果買1本筆記本和4支鋼筆，總費用為18元.試求解筆記本和鋼筆的單價.

解：設鋼筆的單價為x元.

4x+(6-x)=18.

x=4.

6-x=2.

答：鋼筆的單價為4元，筆記本的單價為2元.

典型錯誤：設筆記本的單價為x元.

x+4(18-x)=18.

在含有雙未知量和數量關系的問題中，學生最容易出現的一個問題就是混淆各個量之間的關系.在上面的求解過程中，18-x代表的是4支鋼筆的價格，而不是1支，因此等式左邊所表示的是1本筆記本與16支鋼筆的價格，而等式右邊的“18”表示的是1本筆記本和4支鋼筆的價格.像這樣的錯誤有很多，錯誤形式也不一，錯誤的本質原因就是對題目中的數量關系理解錯誤，使得方程等式兩邊所表征的含義不一致.

3.多數量關系方程問題

案例3：假設有一時鐘，在三點和四點之間，時針和分針在什么時刻重合？

解析：本題并沒有給出明確的已知信息，等量關系不明顯.在分析之后，可以發現這道題可以采用追及問題的思路進行求解.通過類比的思想方法，求解追及問題，需要有“速度”，因此首先需要求解出時針和分針的運行速度.由于是時針與分針的轉動，因此轉動的角度就是追擊問題中的路程.假設3點為起始狀態，滿足時針在分針之“前”90度，本題即可轉化成經過多長時間，分針轉過的角度等于時針轉動的角度加上90度.

解：設經過x分鐘，時針與分針重合.

在時鐘上共有60個小刻度，分針每分鐘轉動1格，時針每分鐘轉動格，可構建方程：

典型錯誤：設在x時，時針和分針重合.

6x+90=0.1x.

6x-0.1x=-90.

雖然本題的原理是追及問題，但是在求解時針與分針的轉動速度時，部分學生存在困難，這也是解決這道題的關鍵.另一方面，有學生分不清時針與分針轉動角度的大小關系，從而列出錯誤的等量關系，導致求解的結果為負數.

三、結語

綜上所述，在設計方程應用題時，教師要以提升學生的知識應用能力、促進學生的全面發展為目標，注重方程內容與其他知識點的聯系，通過方程思維方法的訓練，引導學生將數學理論方法與生活實際相結合，發揮數學思想方法的實際效用，提升學生的知識遷移與應用能力，促進學生的數學學科思維與綜合能力素養的發展.