教材處理謀“三化”，教學內容達“三有”*
——以“相似三角形的判定”為例

☉江蘇省如皋市實驗初中 顧 琰

教材是教師教與學生學的重要工具，因而，教材內容也就成為課堂教學的主要內容.在教學設計時，為了能在課堂上呈現與具體目標匹配的教學內容，我們常會從教材中獲取大量的有效教學信息并進行教學應用.教學設計時，如果教師僅以教材知識點為站位，只能設置一些指向“了解”“理解”等顯性能級目標的內容與流程；如果教師能以單元為站位，其目標才會指向學科育人，指向學生的關鍵能力、必備品格與價值觀念.因而，為了挖掘教材在數學教學中的育人功能，教師必須提升教學設計的站位，將教材中相關的知識點組織起來，形成有結構、成體系的教學內容，具體包括：展示知識的生長背景與新知的延伸拓展，展示有厚度的教學內容，實現教材內容的豐富化；緊貼學生的認知現狀和發展規律創設情境，展示有溫度的教學內容，實現教材內容的情境化；注重知識和技能的網絡化建構，展示有廣度的教學內容，實現教材內容的結構化.

一、教材內容及教學內容分析

1.教材內容分析

在人教版教材中，對相似三角形的判定方法的探索被安排在“平行線分線段成比例定理”和“相似三角形判定的預備定理”之后，依次用“畫”“度量”的方法得到三角形相似的判定命題1、3，用觀察同樣角度的兩塊三角尺的形狀的方法得到判定命題2，然后介紹“疊合法”，并探索證明了三角形相似的判定定理.類似于“HL”的判定方法——斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似，教材并沒有將其作為定理，而是以例題的形式呈現.

2.教學內容分析

在本節課前，關于三角形，學生已經有了較為系統的認知.其中，八年級上學期，學生系統地探索了全等三角形的知識，積累了大量從邊、角來判定三角形全等的活動經驗.本單元中，首先學習了相似三角形及其相關概念，對相似三角形與全等三角形的關系有了初步的認識.基于學生已有的知識基礎和數學知識的發展方向，筆者將本節課的教學內容及流程確定為：（1）緊扣全等三角形與相似三角形間的關系，弱化邊、角條件，類比三角形全等的判定方法，形成三角形相似的判定命題；（2）探索相似三角形的判定方法的證明思路，形成判定定理，不斷豐富研究幾何圖形的經驗和智慧，拓寬研究問題的思路.

二、教學過程簡述及設計意圖

1.自主建構

教師首先引導學生從相似三角形的有關概念出發，厘清全等三角形與相似三角形的關系，并讓學生回憶全等三角形的判定定理，類比猜想三角形相似的判定命題：（1）三邊成比例的兩個三角形相似；（2）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（3）兩角分別相等的兩個三角形相似；（4）斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.在板書上述命題后，教師引導學生說出了本節課的探索主題——相似三角形的判定.

設計意圖：在上述片段中，教師根據學生的認知現狀、相似三角形與全等三角形的內在聯系，以類比的方法展開教學.教者對全等三角形知識的回顧，對相似三角形與全等三角形的關系的梳理，為新命題的出現掃清了障礙.這種基于“特殊”猜想“一般”的類比認知，讓相似三角形與全等三角形這兩個原本分散在不同時段的教學內容整合在一起，讓學生的思維由已知逐步走向未知，實現了經驗與知識的自然延續與和諧再用.

2.示范證明

（1）抽象命題.

教師讓學生解讀命題1，并引導他們結合命題1畫出圖形，如圖1，用符號語言寫出“已知”和“求證”.

圖1

（2）剖析圖形.

教師引導學生回憶已有的相似三角形判定依據（即定義和“預備定理”），深入分析了從定義和“預備定理”兩個角度證明命題1的條件需求，并結合圖形用符號語言表示如下：

定義：

圖2

預備定理：

通過比較，學生發現從“預備定理”出發證明結論需要的條件較少，大家一致認為選擇這條路徑可能比較便捷.隨后，教師引導學生分析“預備定理”的兩個三角形（如圖2）和命題1（如圖1）中的兩個三角形的特征，形成如下板書：

預備定理：兩個三角形同圖，有一個公共角，兩條邊共線，不共線的邊DE與BC平行.

圖3

（3）探索思路.

教師結合圖3追問：如何將圖1轉化成圖2？在互動交流中，學生首先給出通過“在線段A′B′、A′C′上，分別截取A′D=AB，A′E=AC，連接DE”（下稱“思路1”）的方式將兩個圖形疊到一起，形成圖4，但在進一步探索中，學生發現用這種方法構造的圖形中，不僅證不出△A′DE與△ABC全等，而且證不出DE∥B′C′，所以，用“兩邊截取”構圖是行不通的.在進一步追問中，有學生給出“在線段A′B′上截取A′D=AB，過點D作DE∥B′C′”（下稱“思路2”）的構圖方法，隨著對三角形全等與相似條件的逐一分析，學生獲得了用此法構圖下的完整證明思路：

在線段A′B′（或其延長線）上截取A′D=AB，過點D作DE∥B′C′.

圖4

（4）梳理經驗.

在獲得證明思路并給出證明過程、明晰定理的三種語言后，教師引導學生梳理探索過程中用到的知識、方法及積累的經驗，就“思路1”中“作相等，證平行”和“思路2”中“作平行，證相等”的適用范圍進行了明晰，并就推理思路探索遇困時的調整策略等進行了詳細的交流.

設計意圖：教師引導學生從命題與已有的定理的圖形語言入手，詳細剖析相互之間的聯系與區別，通過圖形特征的深入剖析，厘清了命題1的不同證明路徑，并形成合規的證明思路.這樣的教學歷程，給了學生證明命題的思維范式，在幫助他們有序地獲取數學知識的同時，積累了寶貴的命題抽象、圖形分析、思路矯正和證明結論的經驗，這不僅對本節課余下的命題探索有用，對后續的幾何學習同樣是大有好處的.

3.自主探索

基于命題1的探索歷練，教師引導學生自主探索命題2和命題3的證明過程，并板書交流.在得到規范的過程，并明晰了兩個定理的三種語言后，教師將命題4抽象成圖形語言與符號語言（即教材例題），讓學生探索并交流證明思路.

設計意圖：充分應用在探索命題1的證明過程中積累的經驗，讓學生自主給出命題2、3、4的證明過程，一方面，幫助學生獲得了證明三角形相似的多種不同方法，同時在最短的時間內鞏固了學生獲得的活動經驗，感悟滲透于此的轉化思想.

4.反思提升

互動交流：（1）三角形相似的判定方法有哪些？（2）我們是怎樣找到命題的證明思路的？（3）在研究的過程中有哪些經驗和教訓？

設計意圖：以問題串引導學生梳理全課的知識及獲得知識的過程，進一步完善學生建構的三角形知識網絡，使其充分認識到相似三角形在三角形知識體系中的作用，為后面進一步運用相似三角形的判定定理探索相似三角形的性質及銳角三角函數提供了知識鋪墊與經驗基礎.這樣的教學立足于教材，但又不拘泥于教材，將單節課的知識置于整個板塊乃至整個學段的知識體系中，讓學生于課時中獲得的知識不再是碎片化的，而是基于整體的局部建構.

三、教學反思

1.結構“自成整體”，避免“碎片式”

數學教學，尤其是初中學段的教學，應根據數學知識的“生長”規律、學生的認知現狀和發展需求，整體把握教學要求，安排教學內容，分課時實施.這樣的教學，站在學段教學的層面上定位課堂教學，不再在單一知識的得失上做文章，有利于減輕學生過重的記憶負擔；注重了知識間的聯系，有利于知識的結構化，避免了碎片化、孤立化；有利于理解，養成“聯系知識”的習慣；易于遷移，有利于知識的鞏固；有利于應用，指向數學素養的達成.

2.知識“自發生長”，避免“放映式”

根據《義務教育數學課標標準（2011年版）》的要求，數學教材的設計應遵循螺旋上升的原則.因而，我們的數學教學要強化數學知識間邏輯關系的建構.教學設計與實施時，應找準知識間的銜接點，助推其“自然生長”.此外，我們還應讓教學順應學生的認知現狀和發展規律，設計突破難點的有效策略.在順應的基礎上，調整課程內容、呈現順序、呈現背景、呈現方式和方法，讓學生頭腦中的知識“自發生長”.

3.過程“自然展開”，避免“壓縮式”

有時，數學課上，教師為了追求所謂的“大容量、快節奏”而匆忙趕路，壓縮學生的學習過程、思考過程，教師牽引過多，學生亦步亦趨，看似水到渠成，實際上降低了思維質量.教師是“明白之人”，要“使人明白”，必須讓知識生成的過程自然展開.

4.方法“自覺滲透”，避免“告知式”

數學知識的獲得有其獨有的方法，不同的數學知識的形成方法未必相同.在數學教學中，重視知識無可厚非，但學習方法同樣不可缺少.在課堂教學中，不僅要引導學生理解學習內容，還要他們掌握學習方法.一方面，要引導學生總結調控學習對象的方法，獲得“智慧技能”；另一方面，要引導學生總結自身學習過程，獲取改進學習方法的決策.總之，我們在讓學生獲得數學知識的同時，還應讓他們掌握獲得知識的流程及相關的認知策略，形成個性化的獲得知識的方法.

5.素養“自行領悟”，避免“冠名式”

數學教學，應是指向學生核心素養的教學.在數學教學中，我們不能錯誤地以為數學素養是可以通過一兩節課就可以教出來的，事實上，任何學科的素養都是學生自己悟出來的.因此，在教學中，如何讓學生正確地領悟需要教師在課前進行預設.合理而巧妙地設計，有時會讓學生沉浸在數學知識獲得與應用的愉快體驗中，對學生素養的發展是很有好處的.為此，教師應依據清晰的目標，采用新增、刪除、更換、整合、重組等方法，將教材內容進行教學化處理，以實現教學內容的有趣、有用、有意義.

總之，我們遵循“《標準》是基礎，教科書是依托，學生現有水平和可能達到的水平是參照，學生能得到的最大發展是目標”的原則，充分解讀教材，認真剖析學情，合理重組資源，在材料呈現與流程安排上再創造，達成教學效益的最大化.F