精選問題引出新知，明辨重點突破難點
——以二次函數單元起始課為例

☉江蘇省海門市首開東洲初級中學 夏冬平

二次函數的起始課是很多教研活動的熱點課題，常常成為同課異構的課題.最近我們備課組也進行了這節課的集體備課，大家經過充分研討，結合一些參考文獻中的課例設計，確認了從具體問題中分析出二次函數關系，并安排學生類比一次函數定義二次函數，然后盡快進入二次函數圖像和性質的探究，把本課的教學重點與難點定位在函數圖像的生成及性質的歸納上，經過教學實踐，取得了較好的效果.本文梳理該課教學流程，并給出教學立意的解讀，供研討.

一、二次函數單元起始課教學流程

活動1：分析具體問題中的函數關系

問題1：正方體的六個面是全等的正方形（如圖1），設正方體的棱長為x，那么正方體的表面積y與x之間有什么關系？

圖1

問題2：設n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數m與球隊數n有什么關系？

問題3：某種產品現在的年產量是20t，計劃今后兩年增加產量.如果每年上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？

問題1：y=6x2.

問題2：）.

問題3：y=20（1+x）2.

歸納：上面的問題中，函數都是用自變量的二次式表示的.一般地，形如y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫作二次函數.其中x是自變量，a、b、c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.

預設追問：上面三個表達式都符合二次函數的一般形式嗎？如果不是，請整理成一般形式，并指出二次項系數、一次項系數和常數項.

跟進練習：如圖2，矩形綠地的長、寬分別為30m、20m，現各增加xm，寫出擴充后的大矩形綠地的面積y與x的函數關系式，并指出各項系數.

預設：y=（30+x）（20+x），即y=x2+50x+600.它的二次項系數是1，一次項系數是50，常數項是600.

過渡：回顧一次函數的學習經驗，大家覺得接下來會如何研究二次函數？

預設：學生先獨立思考，再在小組內交流，并構思一下如何研究，還可形成研究路徑，再挑選學生進行全班展示交流.師生互助引出從特殊出發進行研究，引向下一個學習活動.

活動2：研究二次函數y=x2的圖像和性質

獨立思考：如何研究y=x2的圖像和性質？

小組討論：根據學習一次函數圖像和性質的經驗，對一個函數要研究什么？怎樣進行研究？

預設：在學生回答的基礎上，引導學生不要急于進行列表、描點、連線，而要先認真觀察函數解析式的特點，想清自變量的取值范圍，函數值有怎樣的特點，構思怎樣列表、取點更有代表性，以避免在選點的“試探”過程中有盲目性.經過啟發，讓學生按以下流程進行研究，比如，先從解析式進行研究，再選擇恰當的數進行計算后列表分析，觀察表格中有序數對的特征，猜想函數圖像的大致特點，最后才是描點驗證之前的觀察和猜想.具體如下：

第一步，觀察解析式，確認自變量x的取值范圍是全體實數，函數y≥0，可以猜想這個二次函數圖像有什么特征.

第二步，列出表格，同學們交流分享剛剛觀察解析式得出的結論，對照列表后看是否分析出的結論仍然成立.

圖2

表1

并預設追問：表格中的點關于y軸對稱，這個性質能從解析式中看出來嗎？

圖3

從表格中還能獲取什么信息？（預設增減性，當自變量取正數時，函數值隨著自變量的增大而增大；當自變量取負數時，函數值隨著自變量的增大而減小）預設表格圖示標注信息如下（注意根據學生課堂生成漸次呈現）：

圖4

（3）從函數圖像看：上述信息，我們再通過描點、連線、畫圖像來體會并驗證一下.

表2

師生共同小結函數y=x2的性質.這個表格中的一些研究“元素”也可以適當留白，讓學生參與構建，以便對研究二次函數圖像的一些角度有較深的認識.

活動3：類比函數y=x2，分組研究函數y=-x2、y=2x2、y=-2x2的圖像和性質

教學組織：學生分組研究函數y=-x2、y=2x2、y=-2x2的圖像與性質，教師在巡視過程中分組指導，參與研究活動，最后引導學生展示他們的成果.在此基礎上，安排學生猜想、概括函數y=ax2（a≠0）的圖像與性質.

預設：學生的回答如果比較零亂，教師可啟發學生結合前面使用表格歸納的一些經驗，列表梳理歸納二次函數y=ax2（a≠0）的圖像與性質，如|a|的大小對拋物線開口大小的影響；最后將二次函數y=ax2（a≠0）的圖像特征與函數性質，在師生合作后梳理出表格（限于篇幅，略去）.

活動4：課堂小結，研究展望

小結問題1：這節課我們是研究二次函數，你學習了二次函數的哪些內容？

小結問題2：在研究二次函數的圖像與性質的過程中，你覺得哪幾條重要經驗值得與大家分享？

小結問題3：根據以前學習一次函數的經驗，你覺得教材編寫者在二次函數這一章會有怎樣的學習目錄？請幫助擬一下，在小組內分享交流.

二、教學立意的進一步闡釋

1.精選問題情境，引導學生抽象并概括二次函數的定義

數學來源于生活，初中階段幾種初等函數作為一種重要的數學模型也是從實際問題中抽象出來的，不同版本的教材都設計了一些生活情境用來引導學生列出二次函數關系式，從而定義二次函數，我們也采用了教材上的典型問題情境，但是進行了問題呈現順序的重組，并且安排學生課前自主先學，節約課堂時間，這樣開課階段小組直接匯報所列的關系式，從而發現它們共同的特征，從變量與變量之間的對應關系確認是二次函數關系，很自然地引出課題：二次函數，進一步通過類比定義一元二次方程的一般形式.由于這塊內容并不是本課重點，對學生也不構成挑戰，所以我們盡快推進到下一教學環節，研究二次函數的圖像及性質.

2.明辨教學難點，把教學用力點放在函數圖像生成上

本課的教學重點是二次函數的圖像和性質，難點是得出圖像并歸納性質.與一次函數學習的經驗類似，我們也是組織學生從簡單出發，先研究函數y=x2的圖像，由解析式能看出x可以取任意實數，不妨以0為“基準”，向左、右均勻選便于計算的x的值，先想象畫出來的圖形的大致形狀，然后列表、描點.之所以讓學生認真觀察解析式、觀察表格中數對的特征，就是因為最初接觸一個陌生函數的未知圖像時，選值列表往往帶有一定的試探性，為了避免盲目性，要先想后畫，爭取所畫出的圖像比較接近精準的圖像.當然，由自變量取值范圍看，只能畫出部分圖像.由選點的個數、描點的近似等因素，決定畫出的圖像是近似的.在修正或優化函數y=x2的圖像時，可以建議學生把原點附近的部分再畫細一些.采取“加密”的方法，在-1與1之間，每隔0.2取一個x的值，列表、描點、連線，就得到原點附近部分相對精確的拋物線了.

3.預設小結問題，引導學生回顧所學并展望后續內容

從上面的課例來看，本課的幾個小結問題也是我們精心預設的，主要立意有三點：首先，引導學生回顧本課所學知識；其次，在學習研究函數圖像過程中，將積累的一些經驗、關鍵步驟通過反思環節小結出來；三是向學生傳遞函數研究的套路，比如我們是通過具體實例認識這類函數，接著要研究這類函數的圖像和性質，展望后續，還將探究這類函數與相應方程的聯系，并利用這類函數解決一些實際問題.