優化思維路徑，提升運算素養*
——圍繞二次根式運算教學展開的探究與思考

☉山東省淄博市臨淄區朱臺鎮高陽中學 趙 濤

數學運算是在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程.主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.筆者就運算方法、運算方向、運算法則、運算結構及運算律這幾個方面，緊緊圍繞二次根式的運算教學，進行了實踐與思考.

一、二次根式運算的優化探究

1.明確運算目的，選擇合適運算方法

2.優化運算方向，節省運算步驟

3.逆用法則性質，“內外”及時溝通

4.厘清運算結構，開拓運算視野

5.活用運算律，理性思維辯證

這時，需要引導學生將算法、算理搞清楚.的確，除法分配律是不存在的，但由乘法分配律a×（b+c）=a×b+a×c，我們易得：，即“”的做法是成立的，這實質上依然是在利用乘法分配律進行解題，而需要變通的地方在于，除法是乘法的逆運算，將除法看作另一種形式的乘法.

二、對二次根式運算教學的思考

1.把握真實學情，增大對二次根式計算教學的重視程度

在二次根式之前，學生已系統地學習了整式、分式的相關運算.但筆者發現，一些在之前運算學習中表現優異的學生在做二次根式運算時常顯得力不從心.究其原因，二次根式的運算與整式、分式的運算有著不少差異，如“”與“5”雖都包含數字“5”，但有著本質的區別；“”與“4”雖看似來自兩個不同的世界，但在數值大小上它們是相等的.反觀我們的教學，若教師將二次根式運算僅僅看作之前所學諸多法則、性質在二次根式數域范圍內的簡單應用，始終堅定一種從有理數到無理數、從整式到分式再到二次根式“順理成章”的思維，不能很好地就知識本身具體的特點組織教學，難免會造成學生用得生硬、學得混亂.筆者認為，二次根式運算是學生在整個初中階段數學運算學習中的一個至高點，故要從內心深處加大重視程度，雖然現行各個版本教材設計章節內容較少，但要透過其“薄”看到其“厚”，教師才能把這部分內容講透，學生才能學透.

2.教師要能為學生排憂解難，減輕學生的運算負擔

減輕學生的運算負擔，并非是將具體做法直接告知學生，而是借助給學生構建好的思維“腳手架”，讓他們在經歷了曲折的探究思考過程之后，逐步實現富有創造性的突破.這些“腳手架”的構建，需要教師做出別有新意的設計.在學完“二次根式”這一章之后，筆者順承本文的優化思路，以強化運算能力為核心，在所教授的一個班引導學生對全章進行了系統復習，另一個班做空白對照實驗.對比發現，經歷了優化訓練的學生運算能力明顯增強.學生運算能力的提升離不開課后的解題訓練，但對解法的比較、思考及思維的優化訓練主要發生在課堂上.在每一個章節乃至課時的運算教學中，教師要以提升學生的數學運算核心素養為出發點，精心思考并構建出符合學生成長規律的鋪路石，才能真正把他們從“題海”中解救出來.

3.只有深究運算法則、性質的本質，才能走出思維的慣常誤區

分式的基本性質是這樣描述的：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變.以往，我們都將注意力集中在“同”字上，以上三例都除以的是“2”，問題出在哪兒？究其原因，是在對分子、分母的認識上.在這里，分子、分母應看作一個整體，若“a+b”除以c，則應為（a+b）÷c=a÷c+b÷c，即a、b都要除以c；而“a·b”除以c，則應為，即a、b中有且只有一項除以c即可.

縱觀學生的錯誤運算實例，多半是由于對運算性質、法則及運算律認識不夠深刻引起的.對這些性質、法則的學習要求，不僅僅是熟練記憶，更應結合具體典例，準確把脈理解中的疏漏、障礙之處，讓學生做“咬文嚼字”式的解讀，在對比學習中舉一反三，才能走出思維誤區.

4.運算學習，要具備勇于探索、“打破沙鍋問到底”的嚴謹求實精神

既定的法則、公式、性質及運算律，維系著數學運算世界中有條不紊的秩序，而在準則的框架之內，又呈現出千姿百態的運算方向、方法.對運算思維的優化是一種能力，更是一種用心觀察、敢于想象、勇于探索的意識，更需要一種把問題問清、把知識學透的鍥而不舍的精神.