用非線性規劃方法證明均值不等式

王偉業

摘 要：關于均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式。現在來考慮用非線性規劃的方法來證明An≤Qn，

其中，。非線性規劃研究的對象是非線性函數的數值最優化問題，它的理論和方法滲透到許多方面，特別是在軍事、經濟、管理、生產過程自動化、工程設計和產品優化設計等方面都有著重要的應用。

關鍵詞：非線性規劃;均值不等式;K-T條件

一、非線性規劃概述

非線性規劃（nonlinear programming）是具有非線性約束條件或目標函數的數學規劃，是運籌學的一個重要分支。非線性規劃研究一個 n元實函數在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且 目標函數和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數。目標函數和約束條件都是線性函數的情形則屬于線性規劃。非線性規劃是20世紀50年代才開始形成的一門新興學科。1951年H.W.庫恩和A.W.塔克發表的關于最優性條件（后來稱為庫恩-塔克條件）的論文是非線性規劃正式誕生的一個重要標志。在50年代還得出了可分離規劃和二次規劃的n種解法，它們大都是以G.B.丹齊克提出的解線性規劃的單純形法為基礎的。50年代末到60年代末出現了許多解非線性規劃問題的有效的算法。20世紀80年代以來，隨著計算機技術的快速發展，非線性規劃方法取得了長足進步，在信賴域法、稀疏擬牛頓法、并行計算、內點法和有限存儲法等領域取得了豐碩的成果。處理非線性的優化問題并非易事，它沒有一個像線性規劃中單純形法那樣的通用算法，而是根據問題的不同特點給出不同的解法，因而這些解法均有各自的適用范圍。

二、用非線性規劃方法證明均值不等式

下文所提到的x均表示n維向量。我們只考慮帶約束的非

線性規劃問題，求解這類問題的方法也稱約束最優化方法。引進它的Lagrange函數如下：其中系數叫做Lagrange乘子。利用它的

Lagrange函數，K-T條件可寫為，對變量x的梯度向

量。在一般情況下，K-T條件的解稱為K-T點，作為K-T點，除了滿足上述條件之外，當然還應該滿足可行性的條件，求一個約束非線性化問題的K-T點時，我們往往需要結合K-T條件與可行性條件。一個解是約束非線性規劃問題的最優解的必要條件是這個點是K-T點，在一定的凸性條件下，可以證明上述K-T條件亦是約束非線性規劃問題最優解的充分條件。

定理1：對于約束非線性規劃問題，若在點x處連續可微，若約束非線性規劃問題的可行點x滿足它的K-T條件，且是凸函數，是線性函數，則x是約束非線性規劃問題的最優解。定理的證明從略。

K-T條件是由Kuhn和Tucker在1951年提出的關于約束非線性規劃問題最優解的著名必要條件。而且對于一些具有凸性要求的凸規劃問題，Kuhn和Tucker的條件也是它的最優解的充分條件。后來求解約束非線性規劃的著名方法簡約梯度法就是基于K-T條件設計的。而Kuhn和Tucker提出條件時也運用了數學中求極值時常用的一種方法——拉格朗日乘子法。

下面就利用約束非線性規劃問題的K-T條件來證明所說的

均值不等式。考慮如下凸規劃：，它的拉格朗日函數為L，所以可以寫出它

的K-T條件為，解它的K-T條件可以得到這個約束非線性規劃問題的K-T點為。又因為此約束非線性規劃問題是凸規劃，所以此解即為原問題的最優解。把最優解帶入原問題可得最優值為，其中

，所以有，整理即為。

可以看到，用非線性規劃的方法，準確地說是約束最優化方法來證明均值不等式另辟蹊徑、方法新穎、更加簡潔明了，而且它的意義是不言而喻的：這種證明方法不同于以往那些純代數的證明方法，它將更偏向于幾何的約束最優化法同代數聯系了起來。