高中數學解題中逆向思維的運用分析

摘?要：數學是一門非常注重邏輯思維的學科，在高中數學解題過程中，有時候按照常規邏輯思維方式無法順利解答題目，反而應用逆向思維則可以比較輕松地解答題目。高中生需要在學習和訓練中掌握一定的逆向思維解題方法，諸如對數學定義的逆向運用，以及反證法思維等，這樣可以多一種解題思路，提高解題效率。

關鍵詞：逆向思維;高中;數學;解題

一、 逆向思維對于數學解題有著極大的重要性

在高中數學解題過程中，大部分學生都習慣于使用正向思維，通過已知條件和方法來解答所遇到的數學題目。大部分情況下，這種方法是適用的。然而在有些時候，通過正向思維方式解答數學題目會很難，甚至感覺到無從下手，面對這種情況，高中生就可以選擇通過逆向思維的方式來嘗試解答數學題目。

在數學發展史以及科學發展史歷程中，逆向思維是一種很重要的思維方式，甚至在某種程度上推動了數學以及科學的發展，通過逆向思維方式解決問題的情況屢見不鮮。對高中生來說，逆向思維是一種很好的思維訓練方式，可以拓展思維，從實用的角度來講，還可以大大提高數學解題的效率。尤其是遇到一些正向思維難以解決的數學問題時，逆向思維通常會有更好的效果。

二、 逆向思維解題的方法探索

高中生在使用逆向思維解題的時候，需要講究一定的方法和策略，這樣可以提高逆向思維解題的針對性和有效性。

（一）

對數學定義的逆向使用

數學定義是數學解題的基礎工具，某些數學定義實際具有一定的逆向特點。在遇到一些數學題目的時候，如果發現通過正向思維無法解決問題，則可以考慮逆向使用一些對應的數學定義，則通常可以讓題目變得更加簡單，從而有利于解決出答案。

【例1】?假設如下三個等式成立①x-y=z;②2x2-2x+z=0;③2y2-2y+z=0。求z的值。

如果按照通常的正向思維，則會選擇使用消元法來嘗試求值，三個未知數，三個等式，從理論上是可以求出未知數的。然而由于未知數較多，應用消元法來求解會比較煩瑣，甚至過程中還容易出錯。遇到這種情況，我們不妨考慮逆向思維。通過審題我們發現題目已知條件中的等式②和③分別為：2x2-2x+z=0和2y2-2y+z=0，兩個等式除了未知數不同，其余方面完全一致，我們通過對一元二次方程定義的逆向運用，則可以認為x和y就是二元一次方程2a2-2a+b=0的兩個解。然后根據韋達定理，則可以得出x+y=1，xy=z/2。結合題目中已知條件①x-y=z，根據（x-y）2=（x+y）2-4xy，將對應的數值代入，可以得到：z2=1-2z，這就變成了一個很簡單的一元二次方程，求解可得z=-1±2。

由此可見，通過對數學定義的逆向使用，可以大大簡化求解過程，讓一些復雜的數學題的解題過程變得更加簡單。

（二） 反證法思維

反證法是一種常見的數學證明方法，通常從否定命題的結論入手，將命題結論的否定假設為推理的已知條件，然后通過正確的規范的邏輯推理，得出的結果與已知條件、數學公理法則等相矛盾。如果出現這種矛盾，則說明假設不成立，因此命題從相反的方面獲得了證明。通常反證法通過三個步驟進行，第一步是反設，也就是做出與命題求證結論相反的假設;第二步是歸謬，也就是將第一步的假設作為條件，然后采用正確規范的邏輯推理得出矛盾的結論;第三步就是結論，說明假設不成立，從而原命題結論是成立的。反證法既可以用于解答題，也可以用于快速解答判斷題選擇題等題型。

【例2】?給定實數a，a≠0且a≠1，設函數y=（x-1）/（ax-1），其中x∈R且x≠1/a。證明：經過這個函數圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸。

面對這個題目，如果采用正向思維，因為函數有較多未知數，解題過程會比較復雜，對部分學生來說可能感覺到無從下手。如果采用逆向思維，則可以考慮反證法。題目中的結論是“不平行”，那我們就先進行反設，也就是先假設“平行”。然后以“平行”結論來進行邏輯推理，找出與已知條件或者數學公理等矛盾的地方，也就是進行歸謬，從而否定假設，從相反角度進行證明。

根據題意，我們假設K1（x1，y1）和K2（x2，y2）是函數y=（x-1）/（ax-1）的函數圖像中的兩個任意不同的點，則x1≠x2。根據反設，假設直線K1K2與x軸平行，則y1=y2。將這一結果代入到函數y=（x-1）/（ax-1）中，則可以得到（x1-1）/（ax1-1）=（x2-1）/（ax2-1），經過整理可得a（x1-x2）=x1-x2。因為x1≠x2，所以a=1。從反設得出的a=1這一結論與已知條件中的a≠1是矛盾的，因此平行的假設是不成立的，也就是直線K1K2不平行于x軸。

由此可見，通過反證法，對于一些正向思維難以證明的問題，可以更迅速簡單地進行證明，而且邏輯上也是符合要求的。

三、 結論

綜上所述，我們可以看到逆向思維在高中數學解題中擁有特別的作用。高中生在日常學習和訓練中，需要掌握一定的逆向思維方法。在高中數學題目解題中，并非所有的題目都適合使用逆向思維。有些數學題目，使用正向思維可以更快更準確地得出答案，這個時候就應該選擇正向思維。逆向思維屬于一種解題選擇，遇到一些正向思維難以切入或者難以解決的數學題時，逆向思維可以提供一個解題的思路選擇，通常會有出其不意的好效果。學生學習逆向思維解題的時候，千萬不要看到數學題就嘗試用逆向思維，而是要根據實際情況來判斷是否合適應用逆向思維。

參考文獻：

[1]沈亮.淺談高中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].數學學習與研究，2018（21）：48.

[2]張蘭云.淺析數學教學中對學生逆向思維的培養[J].中學數學，2018（17）：37-38.

[3]王耀茹.數學解題中逆向思維的應用[D].西安：西北大學，2018.

作者簡介：

許君林，福建省莆田市，福建省莆田市莆田擢英中學。