淺談“中國剩余定理”在小學數學學習中的運用

摘?要：小學生經常遇到有關“剩余問題”的題，所以學會這類題的解答方法很有必要。這類問題的解法被稱為“中國剩余定理”，也有人稱為“韓信點兵”。此類問題的解答是利用兩數不能整除，若被除數擴大（或縮小）了幾倍，而除數不變，則其商和余數也同時擴大（或縮小）相同的倍數，進而求出每個除數對應的基礎數，其次是求三個基礎數的和，最后減去三個數的最小公倍數，以此來解答這類問題。

關鍵詞：小學生;剩余定理;學習

在小學生的一些思維拓展訓練題中或智力競賽題中，我們經常遇到有關“剩余問題”的題。下面我們就探究一下這類題的解答方法。

一、

中國剩余定理的由來

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數。

這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”。它形成了一類問題。這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”。它是中國古代數學家的一項重大創造，在世界數學史上具有重要的歷史地位。

二、 學習兩個定理

要明白具體解法，首先需要知道以下兩個定理。

定理1：幾個數相加，如果存在一個加數，不能被整數a整除，那么它們的和，就不能被整數a整除。

定理2：兩數不能整除，若被除數擴大（或縮小）了幾倍，而除數不變，則其商和余數也同時擴大（或縮小）相同的倍數。

以上兩個定理隨便舉個例子即可證明！

三、 用剩余定理研究解答此類問題的具體方法

題目：一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數。

1.

求出3、5、7這三個數的最小公倍數。（說明：以下用中括號[?]來表示最小公倍數）

[3、5、7]=105

2.

求數3、5、7這三個數所對應的基礎數。

（1）要找到除以3余2的基礎數，就用5和7的最小公倍數3。

[5、7]=35

35÷3=11……2

35正好符合“除以3余2”的條件，所以除以3余2的基礎數就是35。

（2）要找到除以5余3的基礎數，就用3和7的最小公倍數除以5。

[3、7]=21

21÷5=4……1（余1不符合題意）

根據剩余定理2：

余數、商、被除數同時擴大3倍。

（21×3）÷5=（4×3）……（1×3）

63÷5=12……3（擴大后的余數已符合條件）

這樣得到：除以5余3的基礎數就是63。

注意：這一步非常重要。把余數1擴大3倍得到3，那么被除數也擴大3倍，商可以不看。

（3）要找到除以7余2的基礎數，就用3和5的最小公倍數除以7。

[3、5]=15

15÷7=2……1（余1不符合題意）

（15×2）÷7=（2×2）…（1×2）

30÷7=4……2（擴大后的余數已符合條件）

這樣得到：除以7余2的基礎數就是30。

3.

把得到的三個基礎數加起來。

35+63+30=128（這一步是運用了剩余定理1）

4.

減去3、5、7三個數的最小公倍數105。（在基礎數比最小公倍數大的情況下）

128-105=23

那么滿足題意的最小的數就是23了。

四、 理解一首詩歌

大家都知道，解這類題時，有下面一首詩歌。而這首詩歌怎么用呢？我們探究一下。

三人同行七十（70）稀，

五樹梅花二一（21）枝。

七子團圓正半月（15），

除百零五（105）便得知。

這首詩歌的意思是，一個數除以3、5、7同余“1”符合條件的數分別是70、21、15這三個數。只要記住這三個數，那么有關“一個數除以3、5、7余數是其他數”的題很快能求出答案。

例如上面解答的題目：一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數。

①因為除以3余1的基礎數是70，那么除以3余2的基礎數就是70×2=140

同理：除以5余3的基礎數就是21×3=63

除以7余2的基礎數就是：15×2=30

③可以用如下算式解答：

70×2+21×3+15×2

=140+63+30

=233

這個數=233-105×2=23。

所以說，這首詩歌實際上是求“一個數除以3、5、7有余數”這類題的一種簡便方法。

五、

我們再舉例解答一個除數不是3、5、7的類似問題，你就對“中國剩余定理”問題更清楚了

題目：把幾十個蘋果，7個7個地數余2個，6個6個地數余4個，4個4個地數則余2個。這堆蘋果至少有多少個？

①求7、6、4的最小公倍數=84

②用6、4的最小公倍數24÷7=3……3（不符合）

（24×3）÷7=3×3……3×3（需擴大3倍）

72÷7=10……2（達到符合）

③用7、4的最小公倍數28÷6=4……4（正好符合）

④用7、6的最小公倍數42÷4=10……2（正好符合）

⑤求符合條件的三個基礎數的和=72+28+42=142

⑥求這些蘋果至少多少個？

142-84=58（個）

從以上例子可以看出，要解決“中國剩余定理”這樣的問題，首先是求每個除數對應的基礎數，其次是求三個基礎數的和，最后是觀察三個基礎數的和是否小于三個除數的最小公倍數。如大于三個除數的最小公倍數，大于幾個最小公倍數，就減去幾個，直至小于為最終結果。

參考文獻：

[1]李輝.淺析中國剩余定理及其應用[J].豆丁文庫.

作者簡介：

陳茲中，甘肅省定西市，岷縣梅川學區。