基于貝葉斯的高斯雜波背景下MIMO雷達(dá)自適應(yīng)檢測算法

韓金旺 張子敬 劉 軍 趙永波

①(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

②(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 合肥 230027)

1 引言

近年來多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)雷達(dá)是雷達(dá)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)[1-4]。根據(jù)天線配置，MIMO雷達(dá)分為兩類：一類是分布式MIMO雷達(dá)，其特點(diǎn)是發(fā)射和接收天線被分置于不同的空間位置[5-9]，另一類是集中式MIMO雷達(dá)[10-14]，其將發(fā)射和接收天線集中放置。分布式MIMO雷達(dá)的空間分集性可以有效減輕目標(biāo)的雷達(dá)橫截面積(Radar Cross Sections， RCSs)閃爍，從而可以提高檢測性能[15，16]和估計(jì)精度[17]。集中式MIMO雷達(dá)發(fā)射相互獨(dú)立或正交的波形，從而獲得了波形分集性能，提高了系統(tǒng)自由度，因此可以獲得更優(yōu)異的性能，如更加靈活的波束形成性能[18]、更優(yōu)的檢測性能[19]和更好的干擾抑制性能[20]。

雷達(dá)的主要功能之一是目標(biāo)檢測。許多文獻(xiàn)對分布式MIMO雷達(dá)在協(xié)方差相關(guān)性未知情況下的檢測問題進(jìn)行了研究[21-23]。為了估計(jì)未知的雜波協(xié)方差矩陣，一般要遵循如下假設(shè)：有充足的均勻的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可用。實(shí)際中，由于雜波譜的快變性，往往無法得到充足的均勻性訓(xùn)練數(shù)據(jù)，由此會帶來檢測器的性能下降。可以采用一些方法來減輕性能損失，例如，利用雜波協(xié)方差矩陣的斜對稱結(jié)構(gòu)[24]。然而，由均勻性訓(xùn)練數(shù)據(jù)不足引起的問題不能被完全解決，因?yàn)檫@些方法仍然需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)。

為了徹底解決均勻性訓(xùn)練數(shù)據(jù)不足的問題，一個(gè)可能的方法是不使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行目標(biāo)檢測。集中式MIMO雷達(dá)可以直接使用自適應(yīng)處理技術(shù)而不需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)[25]。本文研究的檢測問題主要針對集中式MIMO雷達(dá)。除非特別說明，以下將集中式MIMO雷達(dá)簡稱為MIMO雷達(dá)。

文獻(xiàn)[20]從MIMO雷達(dá)參數(shù)估計(jì)和干擾抑制的角度，給出了一種基于廣義似然比檢驗(yàn) (Generalized Likelihood Ratio Test， GLRT)的檢測器，文獻(xiàn)[26]推導(dǎo)出這種檢測器虛警概率和檢測概率的閉集表達(dá)式并分析其性能，注意到這種檢測器不需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)，從而有效解決了均勻訓(xùn)練數(shù)據(jù)匱乏的問題。根據(jù)Rao和 Wald準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[26]設(shè)計(jì)了兩個(gè)不需訓(xùn)練數(shù)據(jù)的自適應(yīng)檢測器。幾種檢測器各有優(yōu)勢，在信號匹配情況下，文獻(xiàn)[20]中的GLRT檢測器的檢測性能最好。在信號失配情況下，與GLRT檢測器相比，Rao檢測器抑制失配信號的性能更好，而Wald檢測器的魯棒性更好。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[27]推導(dǎo)了一種參數(shù)可調(diào)的MIMO雷達(dá)檢測器，從而可以靈活地調(diào)節(jié)選擇性和魯棒性。

需要指出的是，許多檢測器將雜波協(xié)方差矩陣建模為未知確定的矩陣[20，26，27]，此方法的一個(gè)缺點(diǎn)是無法將協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)信息應(yīng)用到自適應(yīng)檢測算法中。貝葉斯方法將雜波協(xié)方差矩陣建模為未知隨機(jī)的，并為其指定一個(gè)合適的先驗(yàn)分布，從而可以有效地利用協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)知識。

貝葉斯方法已經(jīng)應(yīng)用到了一些場景，如多通道雷達(dá)的空時(shí)自適應(yīng)處理[28，29]和高斯雜波背景[30]或復(fù)合高斯雜波背景[31]下的分布式MIMO雷達(dá)的自適應(yīng)檢測。對于分布式MIMO雷達(dá)，文獻(xiàn)[30]針對距離擴(kuò)展目標(biāo)推導(dǎo)了一種基于貝葉斯理論的GLRT檢測器，雷達(dá)的檢測性能得到了較大提高。文獻(xiàn)[31]研究了隨機(jī)紋理的復(fù)合高斯雜波背景下的分布式MIMO雷達(dá)檢測問題。然而，目前還沒有基于貝葉斯理論的集中式MIMO雷達(dá)檢測器。

本文借鑒在分布式MIMO雷達(dá)中基于貝葉斯框架的GLRT檢測器的理念，結(jié)合集中式MIMO雷達(dá)的特點(diǎn)，研究與設(shè)計(jì)集中式MIMO雷達(dá)的貝葉斯檢測器。本文假設(shè)雜波協(xié)方差矩陣服從逆復(fù)Wishart分布，因?yàn)檫@種分布可以滿足數(shù)學(xué)上的易處理性而且可以反映雷達(dá)工作的環(huán)境。根據(jù)GLRT準(zhǔn)則，本文利用雜波協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)分布設(shè)計(jì)了兩種貝葉斯檢測器。仿真結(jié)果顯示相比傳統(tǒng)的非貝葉斯檢測器，本文的貝葉斯檢測器具有更好的檢測性能。

2 問題闡述

在窄帶模型下，目標(biāo)位置處的基帶信號可以表示為

其中，

目標(biāo)檢測問題可以轉(zhuǎn)化為式(11)的二元假設(shè)檢驗(yàn)問題：

一個(gè)合適的先驗(yàn)分布要能反映雷達(dá)的工作環(huán)境，并且在數(shù)學(xué)上易處理，考慮以上兩點(diǎn)，本文認(rèn)為雜波協(xié)方差矩陣服從逆復(fù)Wishart分布[32]，即

3 MAP-GLRT檢測器

這一部分將推導(dǎo)出MAP-GLRT(Maximum A Posteriori GLRT)檢測器，接收信號在假設(shè)和下的概率密度函數(shù)分別表示為

實(shí)際上，逆復(fù)Wishart分布是式(15)和式(16)的共軛先驗(yàn)分布。也就是說，如果先驗(yàn)分布是逆復(fù)Wishart分布，則式(15)和式(16)是后驗(yàn)概率密度函數(shù)(Probability Density Function， PDF)，這是易處理性的基礎(chǔ)。

根據(jù)奈曼皮爾遜(Neyman-Pearson， NP)準(zhǔn)則，最優(yōu)的檢測器可以通過似然比檢驗(yàn)獲得。然而，由于存在未知參數(shù)，使得無法采用似然比檢驗(yàn)推導(dǎo)出最優(yōu)檢測器。因此，這里采用廣義似然比檢驗(yàn)設(shè)計(jì)檢測器。廣義似然比檢驗(yàn)可以描述問題為

將式(15)和式(13)代入到式(20)中，并取對數(shù)得

利用式(23)，式(24)代數(shù)不等式

從而得到

進(jìn)一步地，等式在式(26)情況下成立

其中，

注意到

將式(43)和式(42)代入式(41)，得到

將式(44)代入式(39)，可以得到

將式(45)代入式(30)，最終得到GLRT檢測器，記為MAP-GLRT：

4 BAMF檢測器

這一部分采用兩步法來設(shè)計(jì)基于貝葉斯方法的BAMF(Bayesian AMF)檢測器。首先，假設(shè)協(xié)方差矩陣是已知的，則GLRT可以表示為

將式(55)代入式(50)并化簡，最終得到BAMF檢測器為

5 仿真實(shí)驗(yàn)

這一節(jié)，將提出的檢測器與傳統(tǒng)的非貝葉斯檢測器進(jìn)行檢測性能比較。因?yàn)镸AP-GLRT檢測器與BAMF檢測器的閉集形式的虛警概率(Probability of False Alarm，) 和檢測概率(Probability of Detection，)表達(dá)式無法得到，所以采用蒙特卡羅方法評估檢測性能。檢測門限和檢測概率分別通過與次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)得到。在以下仿真中，發(fā)射和接收陣元數(shù)設(shè)置為，陣元間距為半波長。假設(shè)，其中，采用指數(shù)相關(guān)的協(xié)方差矩陣，即第個(gè)元素是

為了對比，這里給出傳統(tǒng)的非貝葉斯GLRT檢測器[20]：

Rao檢測器[26]：

Wald檢測器[26]：

圖1 K 取不同值時(shí)的ROC曲線Fig. 1 ROC curves for different K

圖2 K 取不同值時(shí)關(guān)于SCR的曲線Fig. 2 versus SCR for different K

注意到上述仿真均假設(shè)逆復(fù) Wishart 分布的參數(shù) (即和) 是完全已知的。實(shí)際上，這些參數(shù)是未知的，可以使用文獻(xiàn)[32]中的方法進(jìn)行估計(jì)，這就不可避免地產(chǎn)生估計(jì)誤差，接下來研究貝葉斯檢測器在參數(shù)和失配情況下的檢測性能。首先，假設(shè)是確定已知的而存在失配，圖4仿真了這種情況下檢測器的ROC曲線。這里采用兩個(gè)階遲滯相關(guān)系數(shù)和去仿真這種失配，其中和分別用在實(shí)際的和名義上的中。仿真參數(shù)設(shè)置為：真實(shí)的階遲滯相關(guān)系數(shù)設(shè)定的階遲滯相關(guān)系數(shù)分別為其他參數(shù)設(shè)置為和。圖4顯示階遲滯相關(guān)系數(shù)的失配導(dǎo)致了檢測器性能的下降。

圖3 L 取不同值時(shí)檢測器的ROC曲線Fig. 3 ROC curves for different L

圖4 1階遲滯相關(guān)系數(shù)失配時(shí)檢測器的ROC曲線Fig. 4 ROC curves when one-lag correlation coefficient is mismatched

圖5 自由度L失配時(shí)檢測器的ROC曲線Fig. 5 ROC curves when L is mismatched

6 結(jié)束語

本文研究了協(xié)方差矩陣未知的高斯雜波背景下MIMO 雷達(dá)的自適應(yīng)檢測問題，雜波的協(xié)方差矩陣被建模為服從逆復(fù) Wishart 分布的隨機(jī)矩陣，然后基于貝葉斯方法和廣義似然比檢驗(yàn)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了MAP-GLRT 檢測器與BAMF檢測器，這兩個(gè)檢測器不需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)。研究結(jié)果表明利用協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)信息可以有效提高檢測器的檢測性能，尤其是在發(fā)射波形采樣數(shù)較少時(shí)。在1階遲滯相關(guān)系數(shù)或自由度失配時(shí)，貝葉斯檢測器的檢測性能會有所下降。