基于非對稱灰色云模型的裝備維修保障系統效能評估

王雙川， 胡起偉， 白永生， 郭馳名， 馬云飛

(陸軍工程大學石家莊校區 裝備指揮與管理系， 河北 石家莊 050003)

0 引言

裝備維修保障是為保持和恢復裝備良好技術性能而采取的各種技術措施以及相關保障活動的總稱[1-2]。裝備維修保障系統作為裝備維修保障實施的主體，是由裝備維修所需的物質資源、人力資源、信息資源以及管理手段等要素組成的復雜系統[1]；而系統效能是系統滿足一組特定任務需求程度的度量[3-4]，是反映系統綜合性能的指標。因此，裝備維修保障系統效能評估是對裝備維修保障系統運行狀態和維修保障活動效果的綜合分析與評價[5]。開展裝備維修保障系統效能評估，對于評估部隊裝備維修保障能力，指導部隊裝備維修保障力量建設，促進裝備維修保障系統效能提高，為決策者提供輔助決策等具有重要意義。

裝備維修保障系統組成要素多、結構復雜，因此對其效能進行評估是一個復雜的多屬性決策問題。同時，評估過程中由于系統本身的復雜性、指標信息源的多樣性以及指標信息模糊、狀態多變、數據貧乏和專家個體判斷差異等原因，使評估信息帶有很強的模糊性、灰色性和隨機性(統稱不確定性)，其必然影響最終結論的可靠性。因此，評估方法的選擇必須考慮對不確定信息的處理能力，即要求裝備維修保障系統效能評估方法要能夠同時處理評估過程中的模糊性、灰色性和隨機性信息。從收集的文獻來看，現有文獻采用了不同的方法對裝備維修保障系統效能進行評估。例如：文獻[6-7]分別采用層次分析法(AHP)和變權綜合法對基地級裝備維修保障系統效能進行評估；文獻[8-14]分別采用模糊綜合評判法、分形評估算法、拓展貝葉斯理論、集對分析法、云模型評估基層級裝備維修保障系統效能；文獻[15]采用物元分析法對航空裝備維修績效進行評價。上述模型或方法，雖然在一定程度上反映了特定場景下的裝備維修保障系統效能，但是在處理評估過程中的信息模糊性、隨機性和灰色性問題方面無法全面兼顧。

灰色聚類可以有效處理信息不完備情況下的決策問題[16]，并通過灰色聚類白化權函數來實現灰數的白化[17]，解決了評估過程中的信息灰性問題。然而，傳統的灰色聚類白化權函數只對信息的不完備性進行了處理，而沒有考慮很多實際情況中由于信息不完備導致的灰性與隨機性共生問題(即灰數對于某一白化值的“偏愛程度”往往是一定范圍內的隨機數[18])。因此，為了體現評估過程中的模糊性和隨機性，需要對傳統白化權函數進行改進。為此，文獻[19]首先提出了正態灰色云模型，集成了基于貧信息的灰色三角白化權函數聚類理論[20]與綜合考慮信息模糊性和隨機性的正態云模型[14]理論，以一定范圍內隨機變化的隨機數作為白化權值，改進了白化權值的確定方法，既表達出了信息的不完全性、模糊性，又充分考慮了人主觀判斷的隨機性[21]，克服了傳統白化權函數存在的缺陷。目前，正態灰色云模型已經在技術性評價[22]、可信度評估[23]、故障診斷[24]、風險推理[25]、風險評估[26]等多個領域得到應用。本文擬將正態灰色云模型引入裝備維修保障系統效能評估中，以創新裝備維修保障系統效能評估方法，實現對裝備維修保障系統效能的有效評估。

根據正態灰色云模型的對稱性，正態灰色云模型的數字特征——峰值、左界值、右界值三者之間滿足一定的數量關系，也因此限制了灰色云模型中的峰值和左右界值取值的靈活性以及評估結果的可靠性。為此，本文建立了非對稱灰色云模型對裝備維修保障系統效能進行評估，以實現正態灰色云模型數字特征的靈活取值。該模型既解決了評估過程中的信息不確定性問題，又增強了模型的實用性，使模型更加優越，同時在灰色云模型的建立方法及運用上實現了創新。另一方面，為了使裝備維修保障系統效能評估指標權重既能反映決策者的主觀傾向，又能反映客觀情況，本文融合了主觀賦權法和客觀賦權法，通過建立綜合反映主觀、客觀信息的雙目標規劃模型來確定指標相對權重。最后，通過實例分析驗證了評估方法的可用性和有效性。

1 灰色云模型理論

灰色概念和灰數是灰色系統中的基本元素。其中：灰色概念是一種外延確定、內涵不確定的定性概念，如評語“優”、“良”、“中”、“差”等；灰數是一種只知道大概范圍而確切取值不確定的數，是一個數集，數集中可能的取值即為灰數可能的白化值。根據信息確定度的多少，灰數各白化值的地位是不同的，其地位的大小用白化權來表示，對應的權系數函數稱之為灰數的白化權函數，簡稱白化函數，記作f(x)。可見，白化權函數描述的是灰色概念與灰數之間的函數關系，表示一個灰數對其取值范圍內不同數值的“偏愛”程度[18]。

定義1[19]設U是一個論域U={x}，T是與U相聯系的語言值，U中元素x對T所表達的灰色概念的白化權是一個具有穩定傾向的隨機數，則白化權在論域U上的分布稱為灰色云白化權函數，簡稱灰色云。U(x)=GL(x)在[0,1]區間中取值，灰色云是從論域U到[0,1]區間的映射，即U(x)=GL(x):U→[0,1]，?x∈U，x→GL(x)。

灰色云模型的數字特征GC用峰值Cx、左界值Lx、右界值Rx、熵En和超熵He來表征，記為GC=(Cx;Lx,Rx;En;He)。其中：Cx是白化權等于1的值，是最能表征定性概念的值，且有點峰值和區間峰值之分；(Lx，Rx)反映了論域中灰色概念的數值范圍；En是左界值和右界值模糊度的度量，En越大表明評價等級邊界模型性越強；He反映了云滴的離散程度，He越大表明白化權系數的隨機性越強。

2 非對稱灰色云模型的建立

2.1 點峰值正態灰色云模型

正態分布是自然科學與社會科學研究領域具有普適性的一種分布[27]，具有獨特的數學性質。曲線符合正態分布的灰色云模型稱為正態灰色云模型。根據系統實際和研究需要，采用點峰值正態灰色云模型對裝備維修保障系統效能進行評估，因此，有

Cx=(Lx+Rx)/2，

(1)

En=(Rx-Lx)/6，

(2)

He=En/γ，

(3)

式中：γ為給定常數。

點峰值正態灰色云模型的數學期望曲線為

(4)

設P={P1,P2,…,Pj，…，Pn}為裝備維修保障系統效能評估指標集，Pj表示指標集中的任意指標(稱為指標Pj)，n為指標集中評估指標的數量；設T1,T2,…,Tk,…,Ts為聚類對象所屬的灰類，Tk表示灰類中的任意子類(稱為灰類Tk)，s為劃分灰類的總數。若指標Pj屬于灰類Tk的正態灰色云白化權函數滿足

(5)

則稱其為適中測度正態灰色云模型，其中En′為以En為期望、以He為標準差的正態隨機數。根據云滴生成算法[19]，此時的正態灰色云模型曲線如圖1所示。

圖1 適中測度正態灰色云模型示意圖及其數字特征Fig.1 Schematic diagram of middle normal grey cloud model and its numerical characteristics

若指標Pj屬于灰類Tk的正態灰色云白化權函數滿足

(6)

則稱其為下限測度正態灰色云模型。此時正態灰色云模型曲線如圖2所示。

圖2 下限測度正態灰色云模型Fig.2 Lower limit measure normal grey cloud model

若指標Pj屬于灰類Tk的正態灰色云白化權函數滿足

(7)

則稱其為上限測度正態灰色云模型。此時正態灰色云模型曲線如圖3所示。

圖3 上限測度正態灰色云模型Fig.3 Upper limit measure normal grey cloud model

2.2 非對稱灰色云模型

非對稱灰色云模型是在正態灰色云模型的基礎上建立起來的。正態灰色云模型取灰數的中間值作為峰值(即滿足(1)式)以使模型保持對稱，這是一種理想的特殊情況。現實中，在已知左界值Lx、右界值Rx情況下，模型的峰值往往不是左右界值的中間值，而是可以在區間[Lx,Rx]內任意取值的。新建立的非對稱灰色云模型即可以適應任意的峰值設定，因此更加貼近現實情況。

非對稱灰色云模型是取適中測度正態灰色云模型的半側曲線得到的，即取x∈[Lx,Cx]區間對應的半升正態灰色云模型曲線或取x∈[Cx,Rx]區間對應的半降正態灰色云模型曲線得到的。因此，在建立非對稱灰色云模型時，需要在已知峰值Cx和左界值Lx、右界值Rx情況下計算隱含的Rx′和Lx′的值。

根據(1)式，在已知峰值Cx和右界值Rx的情況下，可以得到滿足正態灰色云模型特點的左界值Lx′的值；同理，在已知峰值Cx和左界值Lx的情況下，可以得到滿足正態灰色云模型特點的右界值Rx′的值。即

Lx′=2Cx-Rx，

(8)

Rx′=2Cx-Lx.

(9)

非對稱正態灰色云模型具有如下特點：

1)不對稱性，即峰值Cx和左界值Lx、右界值Rx之間不能滿足(1)式；

2)非對稱灰色云模型的半側灰色云模型是通過正態灰色云模型生成算法得到的，因此仍然符合正態灰色云模型的曲線特征，即針對左右界值Lx、Rx′或Lx′、Rx，(2)式～(7)式仍然適用。

2.3 非對稱灰色云模型的灰色聚類過程

灰色聚類是將評估對象的分散信息進行灰類歸納，并判斷其所屬灰類的過程。參照文獻[22-23]中的聚類過程，非對稱灰色云模型的聚類過程如下：

步驟1設S={S1,S2,…,Si,…,Sm}為待評系統的集合，Si表示集合中的任意系統(稱為系統Si或聚類對象Si)，m為系統總數；設A=[aij]m×n為初始決策矩陣，其中aij表示待評估系統Si中評價指標Pj的量化值。

步驟2確定各指標非對稱灰色云模型的數字特征，構造非對稱灰色云模型。首先，劃分指標灰類；其次，設置各指標各灰類的峰值Cx和邊界值Lx、Rx；再次，根據(8)式和(9)式分別計算Rx′和Lx′，并利用(2)式和(3)式計算得到相應的熵En和超熵He；最后，按照正態灰色云模型生成算法建立正態灰色云模型，并取x∈[Lx,Cx]和x∈[Cx,Rx]區間對應的曲線，得到非對稱灰色云模型。

(10)

(11)

(12)

式中：ωj為指標j在綜合聚類中的權重。

(13)

2.4 確定待評系統評分值

為了進一步對裝備維修保障系統效能進行分析和評估，借鑒文獻[22]中的方法，對通過灰色聚類確定評價等級的系統進行評分。設總分值為100分，則灰類Tk(k越小表示評價等級越低)對應的分值為

(14)

則待評估系統Si的評分值為

(15)

3 主觀和客觀綜合賦權

評價指標權重是對各個評價指標重要性的定量表示，直接影響著評估結果的可靠性與置信度。為了使裝備維修保障效能各影響因素的權向量可以同時反映決策者的主觀偏好和客觀事實，可以參照文獻[28]中提出的主觀和客觀綜合賦權方法，構建雙目標規劃模型獲取指標權重。具體步驟如下：

步驟1作出如下設定：

(16)

對于成本型指標，滿足

(17)

2)設D=[dlj]n×n為采用1～9標度法給出的滿足一致性要求的指標兩兩比較矩陣[29]，其中，l、j僅表示指標數量的編號，dlj=1/djl，dll=1，l=1,2,…,n.

步驟2構造雙目標規劃模型：

(18)

(19)

求解(18)式可得到基于主觀賦權法的指標權重，求解(19)式可得到基于客觀賦權法的指標權重。

步驟3獲取底層指標權重：

為求解(18)式和(19)式建立的雙目標規劃模型，可以利用多目標規劃中的線性加權求和法[30]將該雙目標規劃模型轉化為

(20)

式中：α和β分別表示主觀賦權方法和客觀賦權方法在綜合賦權中的比重，且0<α<1，0<β<1，α+β=1.

(21)

qlj=-α(dlj+djl),l≠j.

(22)

然后，令?L/?ω=O(O為包含n個0元素的向量，即O=(0,0,…,0)T)，?L/?λ=0，求解兩個方程得到的指標權重向量為

(23)

4 實例分析

本文以文獻[9]中的4個裝備維修保障系統(即m=4)為例，直接利用其裝備維修保障系統效能評估指標體系和指標數據，驗證上述模型和方法的實用性和可靠性。裝備維修保障系統效能評估指標體系和各系統的原始指標數據如表1所示。

4.1 確定指標權重

首先，運用AHP計算得到2級指標的權重ω=(0.25,0.27,0.25,0.23)T；然后，計算各3級指標相對2級指標的權重；由于系統效能評估指標眾多，這里以人力資源效能所屬的4個3級指標為例進行說明，具體過程：

表1 裝備維修保障系統效能評估原始數據[9]

1)依據表1中的數據，建立初始評價矩陣A，

2)根據(16)式和(17)式計算得到標準化的決策矩陣B，

3)由專家組給出3級指標的兩兩比較矩陣D，

經一致性檢驗，判斷矩陣D滿足一致性要求。

4)為了綜合體現主觀賦權法和客觀賦權法在指標賦權中的各自優勢，這里取α=β=0.5，利用(21)式和(22)式計算得到矩陣Q，

5)根據(23)式計算得到人力資源效能各3級指標關于2級指標的相對權重，計算結果為ω*=(0.212 3,0.474 6,0.169 8,0.143 3)T。

6)得到3級指標相對1級指標裝備維修保障系統效能的權重(0.053 1,0.118 6,0.042 5,0.035 8)T。

重復以上過程，即可得到各3級指標相對1級指標的權重，統計計算結果如表2所示。

4.2 建立非對稱灰色云模型

裝備維修保障系統效能評估指標體系中既有效益型指標又有成本型指標(裝備失修率、裝備返修率)，且各指標均無量綱。為了便于分析和計算，本文在征求專家組意見基礎上，分別對效益型指標和成本型指標的評價等級標準進行了統一劃分。具體來說，將效益型指標分為4個灰類(即s=4)，序號k=1,2,3,4，分別表示差、中、良、優，給出各指標4個不同子類的左右界值、峰值，并取γ=8計算熵和超熵，結果如表3所示。

表2 裝備維修保障系統效能評估指標權重

根據表3給出的評價指標等級及數字特征，可以得到效益型指標的非對稱灰色云模型，如圖4所示。

同樣，可以將成本型指標分為4個灰類，序號k=1,2,3,4，分別表示優、良、中、差，給出指標所在各個灰類的左右界值、峰值，計算熵和超熵(取γ=8)如表4所示，成本型指標的非對稱灰色云模型如圖5所示。

4.3 綜合聚類及評價結果分析

表3 效益型指標評價等級劃分及數字特征

圖4 效益型指標非對稱灰色云模型Fig.4 Asymmetric grey cloud model of benefit indexes

由表5可知：根據各系統綜合聚類系數計算結果，可以得到4個裝備維修保障系統(系統1、系統2、系統3、系統4)的效能定性評估結果均為良；根據各裝備維修保障系統效能評分，可以得到4個系統的效能定量評估結果，且其大小排序為E2>E3>E4>E1(E表示系統效能)，驗證了本文提出評估方法的可行性，且本文得出的系統效能排序結果與文獻[9]中的系統效能排序結果一致，驗證了本文評估結果的可信性和評估方法的有效性。

為了進一步證明本文評估結果的可靠性和評估方法的實用性，采用文獻[11]中的集對分析法再次對各裝備維修保障系統效能進行評估，得到各系統與最優評估集的相對貼進度向量(0.437 3,0.528 2,0.506 6,0.465 7)，進而得到各系統的效能排序結果為E2>E3>E4>E1，仍與本文的效能排序結果一致，評估結果的可靠性和評估方法的實用性得到進一步驗證。

表4 成本型指標評價等級劃分及數字特征

圖5 成本型指標非對稱灰色云模型Fig.5 Asymmetric grey cloud model of cost indexes

表5 各系統綜合聚類系數及評估結果

Tab.5 Comprehensive clustering coefficient and evaluated results of each system

評估對象綜合聚類系數差中良優評估結果評分值系統10.10580.24130.58000.0729良65.50系統200.24130.58000.1787良73.44系統300.25780.58490.1573良72.49系統400.44210.41970.1382良67.27

綜合實例分析可知，與其他兩種方法相比，非對稱灰色云模型(以下簡稱本文模型)的優越性主要體現在以下3個方面：1)從評估方法角度來看，本文模型數字特征取值靈活，自適應能力強，更能滿足建模過程中的數據取值需要，且模型兼顧了評估信息的模糊性、灰色性和隨機性，使評估結果更具實際意義；2)從評估過程角度來看，采用本文模型評估裝備維修保障系統效能過程中，利用MATLAB軟件對指標數據進行了上千次仿真((10)式中的q值即仿真次數，可以任意設定，且q值越大得到的指標灰云白化權越接近實際值)，因此得到的評估過程數據更加可靠；3)從整個計算過程來看，本文模型計算成本更低，計算過程更為簡單、快捷，且可以得到定性、定量兩種評估結果。

5 結論

本文基于非對稱灰色云模型及主觀和客觀綜合賦權法對裝備維修保障系統效能進行評估，通過分析評估過程，得出了以下結論：

1)非對稱灰色云模型能夠統籌考慮信息的不完備性、模糊性和隨機性，且數字特征取值靈活，很好地滿足了建模過程中的數據取值需要。

2)實例分析及與其他評估方法的對比分析，證明了本文提出方法的適用性、有效性和評估結果的可靠性。

3)本文評估方法實現了對單個裝備維修保障系統效能的有效評估以及對多個裝備維修保障系統效能的分析比較，為評估裝備維修保障系統效能提供了一種有效的實用方法。

非對稱灰色云模型建模過程中，灰類數量、評價等級邊界和峰值的確定具有一定的主觀性，下一步需要針對裝備維修保障系統效能評估問題，對灰類數量和模型數字特征的取值問題開展深入論證研究，以進一步增強評估結果的認可度和可靠性。