火炮后效期內(nèi)彈底壓力預(yù)估理論模型研究

周夢笛， 曹從詠， 錢林方

(1.南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院， 江蘇 南京 210094； 2.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

在火炮射擊過程中，彈丸運動經(jīng)歷內(nèi)彈道、中間彈道(后效期)和外彈道3個階段。在后效期，彈丸穿越火炮膛口流場時繼續(xù)受到火藥燃氣的作用，將對彈丸受力及運動規(guī)律產(chǎn)生影響，這種影響包括彈丸獲得的增速及受到的擾動[1]。

針對后效期的彈道研究興起于第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束時，早期研究主要針對膛口流場，采用理論方法和各種實驗方法進行氣流特征和機理的分析[2-4]。Erdos等[4]根據(jù)二維定常射流理論，利用激波裝配法建立了后效期沖擊波波面和馬赫盤的數(shù)值計算模型，該模型未考慮彈丸和膛口之間的相互作用以及彈丸對流場的影響，具有一定的局限性。隨著計算機性能的大幅度提高，數(shù)值仿真發(fā)展迅速，國內(nèi)外學(xué)者開始采用計算流體力學(xué)(CFD)方法對后效期流場進行仿真研究。蘇曉鵬等[5]利用混合網(wǎng)格技術(shù)對帶炮口裝置的某火炮膛口流場進行了數(shù)值仿真，得到了彈丸出膛口后彈底合力的變化曲線。采用國際通用的大型流場仿真軟件Fluent CFD，可以較精準地模擬后效期膛口流場及彈丸運動情況[6-8]，但CFD方法需要較長的計算時間，不適用于實際工程火控系統(tǒng)中。因此必須建立一種耗時小的快速計算模型方法，以預(yù)估彈丸彈底壓力的波動情況。

根據(jù)已有研究可知，后效期內(nèi)膛口附近的火藥燃氣流動主要是普朗特- 邁耶膨脹波及沿軸線的反射波起主導(dǎo)作用。本文采用完全不同于CFD的方法來模擬后效期彈底的壓力變化，基于平面普朗特- 邁耶膨脹流動[9]，提出一種近似的中間彈道彈底壓力半分析模型，以期迅速且較精確地給定外彈道的初始條件，從而為射表編制和彈丸合理設(shè)計提供理論參考依據(jù)。

1 后效期彈底壓力預(yù)估理論模型

根據(jù)普朗特- 邁耶膨脹波關(guān)系及等熵流動，有下述關(guān)系：

uφ=c，

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：uφ為流動速度u的切向分量；c為聲速；ur為流動速度u的法向分量；Δh為比焓增量；um為炮口速度；φ為特征線傾角；φm為炮口馬赫角；ρ為燃氣密度；ρm為炮口燃氣密度；cm為炮口聲速；p為某一特征線對應(yīng)的靜壓值；pm為炮口壓力；Mm為炮口馬赫數(shù)。炮口馬赫角示意圖如圖1所示。

圖1 炮口馬赫角示意圖Fig.1 Schematic diagram of Mach angle

將火藥燃氣看成是比熱比為k的完全燃氣，可以導(dǎo)出p與φ的關(guān)系式為

p=pm{cos[w2(φ-φm)]-

(7)

根據(jù)(7)式，可以算出傾角為φ的特征線到達彈底點處的靜壓值。為了求該點處的動壓值，可利用流動速度的軸向分量ux，即

(8)

利用(9)式計算動壓Δp的近似值：

(9)

在(9)式中，將彈丸速度近似處理為um，主要是考慮到在后效期內(nèi)彈丸速度增加不多[10]，則將p+Δp看成是傾角為φ的特征線到達彈丸底部的作用力。由于該近似處理并沒有考慮反射波達到該點處的作用力，需要綜合考慮入射馬赫波和反射波的共同作用，近似認為是兩種波的疊加，為了考慮反射波的影響，采用聲學(xué)近似方法處理。

根據(jù)圖2所示的對稱平面反射波性質(zhì)，對于一給定的特征線，反射波壓力和軸向速度相同，徑向速度分量大小相等、符號相反，因此可以用(7)式、(8)式和(9)式計算反射波靜壓pr、反射波軸向速度uxr和反射波動壓Δpr，即

(10)

(11)

uxr=

(12)

式中：φr為反射波傾角。

圖2 對稱平面反射波性質(zhì)示意圖Fig.2 Property of reflected wave on symmetry plane

然后進行平均壓力的預(yù)估，如圖3所示，對給定的彈丸運動位置x(t)，沿徑向均分為n等分，節(jié)點數(shù)i為1，2，…，n+1. 則任意點的徑向坐標為ri=rm(i-1)/n. 對每一點而言，若假定特征線為直線，則特征線入射波和反射波的傾角由(13)式和(14)式求出：

(13)

(14)

圖3 彈丸底部徑向分割示意圖Fig.3 Schematic diagram of radial segmenting

對于給定的φ，由(7)式和(9)式計算p和Δp；對于給定的φr，由(10)式和(11)式計算pr和Δpr. 假定波的干涉呈線性，則第i個節(jié)點的合壓力pi為

pi=p+pr-pm+Δp+Δpr，

(15)

進而有作用于彈底的平均壓力為

(16)

2 彈底壓力預(yù)估值邊界估計

2.1 上界預(yù)估

第1節(jié)模型中僅考慮了平面對稱性，沒有考慮實際的圓柱軸對稱流動問題。在軸對稱模型中，普朗特- 邁耶流動的壓力下降要比平面對稱快得多，因此應(yīng)該在近似模型中考慮彈底壓力的上界預(yù)估。本文采用近似方法考慮軸對稱問題，連續(xù)性方程為

(17)

式中：t為后效期時間；r為徑向坐標。

對于等熵流動，p可由ρ計算得到，有如下性質(zhì)：

p=p(ρ)，

(18)

(19)

(20)

將(18)式、(19)式和(20)式代入(17)式中，則(17)式為

(21)

式中：右端第1個和項表示平面對稱流動的壓力偏導(dǎo)數(shù)項。因此，沿著彈丸軌跡對(21)式進行積分，得

(22)

式中：τ為時間微元；Δpp為彈底動壓，右端的積分項可以處理成平面對稱流動的解的修正項，從而可以用前述方法計算Δpp并進行修正，該積分項可以通過連續(xù)時間間隔內(nèi)的pi和uri求出。對于平面對稱流動，徑向速度分量ur預(yù)估值ur(φ)為

(23)

如果入射波與反射波存在相互作用，則ur可由(24)式計算：

ur=ur(φ)-ur(φr).

(24)

2.2 下界預(yù)估

與2.1節(jié)同樣，通過近似處理方法也可以得到壓力預(yù)估值的下界。由于將特征線處理成直線，造成所給出的特征線到達彈尾的時間早于實際特征線(見圖4)，導(dǎo)致直線特征線比實際特征線的壓力下降更快。在這種情況下，在后效期開始時刻，火藥燃氣速度為亞音速時需要采用基于一些修正的近似模型。此時，膨脹波進入炮口、導(dǎo)致燃氣加速，使炮口處的流動變?yōu)橐羲倭鳌＿@意味著普朗特- 邁耶流的第1條特征線位于炮口處，因此可以用第1節(jié)中的近似模型計算作用于彈體尾部的平均壓力。前提是需要已知炮口處新的流動參數(shù)，這些參數(shù)不同于內(nèi)彈道計算結(jié)果，為此本文提出如下近似方法。

圖4 直線特征線與實際特征線關(guān)系示意圖Fig.4 Relationship between linear and real characteristic lines

如圖5所示，假定在初始時刻中心膨脹波扇在炮管內(nèi)產(chǎn)生，則可以通過中心膨脹波關(guān)系計算炮口處的速度和壓力。

圖5 初始時刻膨脹波扇示意圖Fig.5 Schematic diagram of initial expansion wave

沿炮口處特征線，黎曼不變量關(guān)系式為

(25)

式中：u0、c0為內(nèi)彈道終止時刻的流動速度和聲速。

由于在炮口處um=cm，代入(25)式，得

(26)

(27)

本文認為火藥燃氣是完全燃氣，利用等熵關(guān)系計算炮口處其他參量，并消去壓力項，得

(28)

(29)

Mm=1.

(30)

3 仿真對比分析

以口徑155 m某型火炮實彈射擊試驗中測得的膛口數(shù)據(jù)為例，將本文模型的計算結(jié)果與CFD三維仿真結(jié)果進行對比。

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

實彈射擊試驗測得3種不同出膛速度工況的后效期初始時刻膛口參數(shù)如表1所示，模型所需初始條件中的參數(shù)pm、ρm、um取表1中的數(shù)據(jù)，k取1.3，rm取0.077 5，用MATLAB編程實現(xiàn)本文模型的計算。

表1 計算工況表

CFD仿真時設(shè)置計算域為10 m×5 m×5 m的長方體，計算網(wǎng)格數(shù)約為110萬。根據(jù)經(jīng)典內(nèi)彈道理論，假設(shè)膛口壓力、溫度、密度隨時間呈指數(shù)衰減規(guī)律[11-12]，并編寫用戶自定義函數(shù)(UDF)實現(xiàn)膛口火藥燃氣的排空過程，采用密度基瞬態(tài)求解器進行求解。

3.2 對比分析

考慮到CFD仿真耗時較長，本文僅對距離膛口20 cm內(nèi)彈底壓力的波動情況進行仿真，所得結(jié)果如圖6以及表2～表4所示。由如圖6以及表2～表4可以看出：不同工況下本文模型計算得到的彈底壓力曲線與CFD三維仿真結(jié)果都較接近，表明本文模型與CFD模型仿真結(jié)果相差很小；每個工況本文模型的計算耗時不到1 s，CFD計算耗時約1.5 h左右，表明本文模型計算耗時比CFD模型顯著減小。

圖6 彈底壓力變化曲線圖Fig.6 Curves of pressure on the bottom of projectile

表2 工況1下CFD模型與本文模型計算結(jié)果對比

Tab.2 Comparison of calculated results of CFD model and the proposed model in Case 1

距離/m彈底壓力/MPaCFD模型本文模型0.05098.597.90.07581.982.30.12553.555.30.15044.543.6

表3 工況2下CFD模型與本文模型計算結(jié)果對比

表4 工況3下CFD模型與本文模型計算結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文對后效期彈底壓力的波動進行了研究，基于普朗特- 邁耶膨脹波和等熵流動，建立了后效期彈底壓力預(yù)估理論模型。以某彈丸為例，將該模型計算結(jié)果與常用的CFD三維仿真模型計算結(jié)果進行了算例對比。結(jié)果表明：本文提出的彈底壓力預(yù)估分析模型能夠合理地反映后效期彈底壓力的變化規(guī)律，所采用的數(shù)值計算方法與CFD方法相比計算精度相當，但計算耗時顯著減少。本文研究成果可為火控系統(tǒng)所需外彈道參數(shù)提供一種快速的計算方法，并可為射表編制和彈丸合理設(shè)計提供理論參考依據(jù)。