串一條美麗的項鏈 讓主題復(fù)習(xí)增值
——以《直柱體的體積和側(cè)面積》為例

江蘇省常州市金壇區(qū)段玉裁實驗小學(xué) 張 揚

復(fù)習(xí)課不是舊知識的簡單再現(xiàn)和機械重復(fù)，而應(yīng)把它看成是啟發(fā)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上的一種較高層次的學(xué)習(xí)過程。有效的復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)內(nèi)容與形式不能僅僅局限于對舊知識的回顧與串講，也不該沉迷于試題的機械訓(xùn)練之中，而應(yīng)通過舊知識的復(fù)習(xí)，以舊引新，化難為易；以舍求得，化腐為奇；以點帶面，化少為多，讓學(xué)生有新的發(fā)現(xiàn)、新的理解和新的體會。數(shù)學(xué)知識猶如一粒粒散落的珍珠，如果不會整理，只是一盤散沙，沒有太大的價值，只有串成美麗的項鏈，才會價值連城。

一、創(chuàng)設(shè)“縱向數(shù)學(xué)化”思維活動的起點

課始，提出問題：截止到目前，我們小學(xué)階段已經(jīng)研究過哪些立體圖形？（隨學(xué)生的口答貼出：長方體、正方體、圓柱、圓錐）

收集并展示交流課前整理的作業(yè)單：

學(xué)生通過自主交流，分享自己的整理以及對體積公式的理解。

隨后教師相機提出：外形不一樣的長方體、正方體和圓柱都可以用V=Sh，它們之間究竟有什么共同的特征呢？請看——先播放孩子們上交數(shù)學(xué)補充習(xí)題的視頻，如果把一本本補充習(xí)題想象成一個個平面圖形——長方形，隨著孩子們不斷向上疊加，就會形成立體圖形——長方體，再課件演示從長方形（正方形或圓）逐漸向上平移增厚變成長方體（正方體或圓柱）的過程。

拓展直柱體的認知范疇，追問：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：它們上下底一樣，中間一樣粗細。

生2：長方體是由長方形向上平移形成的，正方體是由正方形向上平移形成的，圓柱是由圓向上平移形成的。

教師相機指出：數(shù)學(xué)上，通常把這樣的立體圖形叫作“直柱體”。現(xiàn)在，大家明白這三種立體圖形有什么共同特征了。繼續(xù)追問：除了由長方形、正方形、圓平移形成這三種直柱體之外，你認為直柱體還可以長什么樣子？

學(xué)生不斷圍繞直柱體的特征展開想象：由平行四邊形、梯形、三角形……平移都可以得到直柱體，隨著孩子的想象與口答，課件繼續(xù)呈現(xiàn)直柱體，再次追問：它們都是直柱體嗎？

生：是的，它們都是由平面圖形平移得到的立體圖形。

建模直柱體體積計算公式，教師提出：那如何求它們的體積？有什么統(tǒng)一的方法呢？

生1：V=Sh，因為它們都是直柱體。

生2：它們都可以變形轉(zhuǎn)化成長方體，因此，都可以用V=Sh。

小結(jié)：是呀，只要用上“轉(zhuǎn)化”的策略，就能統(tǒng)一所有直柱體的體積計算公式V=Sh。（相機播放直柱體體積推導(dǎo)的微視頻）

二、在序列化交流中深化直柱體體積計算模型

變式練習(xí)一：制造這根鋼管，要用多少鋼材？

圖1

圖2

反饋時絕大多數(shù)學(xué)生選擇了圖2的方法，也有少數(shù)的同學(xué)選擇了圖1的方法。

課堂中，通過對比，溝通兩種方法之間的聯(lián)系，學(xué)生再次驚奇地發(fā)現(xiàn)直柱體體積通用公式的合理性。這樣計算比用“大圓柱體積-小圓柱體積”的算法簡潔、好算。通過復(fù)習(xí)，學(xué)生感悟到以前看似孤立的各個體積計算公式之間有著密切的聯(lián)系。從復(fù)習(xí)舊知識衍生出新知識，從“零碎”的知識之中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系，學(xué)習(xí)由零碎變系統(tǒng)，由厚變薄的過程。

變式練習(xí)二：你知道金魚的體積是多少嗎？

（1）把一條金魚完全浸沒在一個底面直徑是20厘米，水深12厘米的圓柱形容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了 2 厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

把另一條金魚也完全浸沒在一個長為20厘米，寬為12厘米，高為15厘米的長方體容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了2厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

教學(xué)中，通過問題引領(lǐng)：你知道金魚的體積是多少嗎？對比發(fā)現(xiàn)無論是用圓柱體的容器，還是長方體的容器，都是通過“等積變形”把金魚的體積轉(zhuǎn)化為上升水柱（實為圓柱體或長方體形狀的直柱體）的體積。在交流對比的過程中，學(xué)生深刻理解了直柱體體積公式的本質(zhì)，雖然底面的形狀變了，形成的立體圖形的形狀也變了，但是直柱體都是平面圖形向上平移形成的立體圖形，因此直柱體的體積都可以用V=Sh。

引發(fā)思考：為什么計算圓錐體積不能用V=Sh？

學(xué)生通過幾何直觀對比，辨析發(fā)現(xiàn)了圓錐不是直柱體，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維活動走向深層次的思考。

三、在知識遷移中統(tǒng)一直柱體側(cè)面積計算方法

談話：我們剛剛研究了直柱體的體積，都是底面積乘高。我們是怎么研究的？（整理發(fā)現(xiàn)——引發(fā)猜想——推理驗證——得到結(jié)論）你覺得接下來我們會研究什么？（表面積）

自主交流立體圖形的表面積整理單，提出問題：直柱體的體積都可以用V=Sh，那直柱體的表面積里又有什么變與不變的呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生面露難色，教師相機引導(dǎo)：瞧！這是我們經(jīng)常遇到的練習(xí)，有什么相同之處？

（1）一個長方體餅干盒，長19厘米、寬11厘米、高20厘米。如果在它的側(cè)面貼一圈包裝紙，包裝紙的面積至少有多少平方厘米？

（2）一個圓柱體餅干盒，底面半徑10厘米，高20厘米。如果在它的側(cè)面貼一圈包裝紙，包裝紙的面積至少有多少平方厘米？

學(xué)生通過交流發(fā)現(xiàn)（1）要求的是長方體四周的面積（少數(shù)孩子提出其實就是求長方體的側(cè)面積），（2）要求的是圓柱的側(cè)面積。列式對比，通過乘法分配律轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)——長方體四周的面積也可以用底面周長×高來計算。

回顧整理，動眼觀察，溝通聯(lián)系：S直柱體的側(cè)面積=Ch。

引導(dǎo)：我們在整理的時候發(fā)現(xiàn)側(cè)面展開圖將曲面轉(zhuǎn)化為平面圖形——長方形，從而找到了長方體、正方體、圓柱這些特殊的直柱體側(cè)面積計算的方法都是底面周長乘高，那其他的直柱體的側(cè)面積呢？這只是我們的猜想（打上問號），還需要驗證，你打算怎樣驗證？先想一想，再與你的同桌交流。（大多數(shù)孩子想到了沿直柱體的高剪開，都可以將直柱體的側(cè)面化曲為直，長方形的長就是直柱體的底面周長，長方形的寬就是直柱體的高，從而進行驗證）

隨著孩子們的動腦思考、動口說理，教師提出要求：平面圖形通過向上平移得到立體圖形，就像這一張張紙不斷疊加，就得到一個長方體，其實這張紙還可以干嘛呢？

追問：你知道里面還藏著什么嗎？想不想知道？我們來動手做一做，出示一張長方形紙。

提出要求：你打算圍一個什么樣的直柱體？想一想，圍一圍，說一說。

匯報交流：通過圍你發(fā)現(xiàn)了什么？

讓學(xué)生利用手中的A4紙進行移一移、圍一圍等操作，讓他們觀察會發(fā)生怎樣的變化，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的圓柱、長方體、正方體等直柱體體積和側(cè)面積的變與不變，在知識建構(gòu)的過程中溝通聯(lián)系，形成知識脈絡(luò)，經(jīng)歷知識變厚、變薄的全過程。

復(fù)習(xí)課設(shè)計數(shù)學(xué)化主題活動，從“同一知識領(lǐng)域”內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性出發(fā)，發(fā)展后續(xù)需要的數(shù)學(xué)核心能力，挖掘知識領(lǐng)域內(nèi)容的“留白處”，激發(fā)后續(xù)探究的樂趣，讓數(shù)學(xué)主題活動經(jīng)驗的“根”長得更深。