基于HPM視角的初等數論課程教學探究

張四保

(喀什大學 數學與統計學院， 新疆 喀什 844008)

“數學是科學的皇后，而數論是數學皇冠”[1]，對于數論在數學中的地位，高斯曾作過如此評價。初等數論是研究數，尤其是研究整數性質的一個最古老的數學分支，它所使用的方法初等與樸素的。在數論中有的命題表述極為簡潔，而要證明命題卻極為艱難。如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等大量的“皇冠上的明珠”等難題尚未解決。初等數論在諸多理論中的命題有著廣泛的應用，如信息安全、代數編碼、密碼學等?！俺醯葦嫡摗闭n程包含了現行基礎教育新課程標準下高中數學選修系列4“初等數論初步”模塊的全部內容[2]，同時整數的整除、公因數、公倍數等內容都是現行小學數學的主要內容，師范院校的師范專業數學與應用數學專業、小學教育專業把“初等數論”課程作為專業主干課程。任課教師如何使得學生對于“初等數論”課程易學、易理解、易掌握，已成為這一課程教學改革的一個迫切需要解決的問題?；贖PM視角的課程教學，為解決問題提供了一個行之有效的途徑。

何為HPM? HPM是History and Pedagogy of Mathematics的簡寫，它源自第二屆國際數學教育大會上的一個工作小組，是專門研究數學史與數學教育之間關系的組織。主要的研究內容如圖1所示，其目的是通過研究數學教學過程中的應用數學史，提高數學教育質量與成效。

圖1 HPM的主要研究內容

1 HPM對初等數論課程教學的作用

1.1 有助于激發學生學習初等數論課程的興趣

HPM的先驅者卡約里指出：“如果用歷史軼事點綴枯燥的證明和計算，學生的興趣就會大大增加……”也就是說一旦一個人對某一事物產生了濃厚的興趣，他就會主動地去求知、探索與實踐，并在求知、探索與實踐的過程中體驗其中的樂趣。同樣，學習的過程也是如此，若學生對某一課程產生了濃厚興趣，學生就會主動地去學習這一課程；反之，就會倦怠這一課程。2018年，教育部發布了《教育部關于狠抓新時代全國高等學校本科教育工作會議精神落實的通知》，文件要求狠抓本科教學，淘汰“水課”、打造“金課”。學生幾乎不聽課甚至逃課，這種課程就是“水課”的特征之一。出現“水課”的一個最主要的原因是任課教師講課的方式過于呆板，照本宣科，甚至讀課本，課程氣氛枯燥，任課教師沒有調動起學生的學習興趣。而初等數論課程的內容較為陳舊且理論性很強，若教學方式方法單一，很難引起學生的學習興趣。自然課程的教學效果就是事倍功半的，它距離“水課”就不遠了。若在教學過程中，任課教師適時、適當、適量引入與教學內容有關的歷史資料，激發學生對課程的學習興趣，就會達到事半功倍的教學效果。

1.2 有助于提高學生對初等數論知識體系了解

數學知識主要體現在概念、思想與方法之上，思想與方法是對知識的再概括與再凝練。在講授初等數論課程過程中，適當介紹前人進行探索的歷史背景，了解前人的研究方法，透過現象看本質，可以加深學生對一些知識體系的了解，感受前人研究創造的激情。

2 基于HPM視角的初等數論課程某些內容的實踐教學

2.1 不定方程

不定方程是指未知數的個數多余方程個數的方程(組)。在講解本章內容時，可以將以下史料融入課堂教學過程中。

古希臘亞歷山大后期的重要學者和數學家丟番圖，在撰寫的用純分析的途徑處理數論與代數問題的《算術》(Arithmetic)中，主要是以不定方程的求解而著稱。在此之前，阿基米德就接觸過類似問題，提出了“牛群問題”(The cattle problem)。但丟番圖是對不定方程問題作深入研究的第一人，因而也將不定方程稱為“丟番圖方程”。

在《算術》中有一個出名的不定方程問題：將一個已知的平方數分為兩個平方數。這一問題之所以出名，主要是因為大約在1637年前后，“業余數學家之王”費馬在閱讀《算術》拉丁文譯本時，對這一問題作了個邊注寫道，“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下”，從而引出了“引無數英雄競折腰”，耗時300多年才被解決的舉世矚目的“費馬大定理”。

我國是研究不定方程最早的國家。大約成書于公元前1世紀的數學巨著《九章算術》中，有一道涉及不定方程的“五家共井”的問題。五家共井，甲二綆(汲水用的井繩)不足，如(接上)乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆，皆及，這標志我國很早就對不定方程理論有了系統研究。而這樣相同的問題在13世紀意大利斐波那契《算經》與15世紀阿爾·卡西《算術之鑰》中都曾出現過。

2.2 中國剩余定理

中國剩余定理又稱孫子定理，因它最早記載在我國古代數學著作《孫子算經》，它是數論中的一個重要且廣泛應用的定理，其內容如下：

對于涉及這部分的內容，任課教師可適當地講解一下以下史料。大約公元4世紀，我國古代重要的數學著作《孫子算經》記載著“物不知數”問題。今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？ 答曰“二十三”。這就是今天關于一次同余式組的解法問題。我國宋代大數學家秦九韶進一步推廣了“物不知數”問題，開創了對一次同余式理論的研究工作。秦九韶在《數書九章》提出了“大衍總數術”，系統闡述了求解一次同余式組的一般方法，其中最關鍵的是“大衍求一術”，這是秦九韶對古歷算家在求歷法上元的總結。到了18、19世紀，歐拉與高斯分別對一次同余式組進行了深入的研究，獲得了與秦九韶“大衍求一術”相同的定理。1876年德國馬蒂生指出秦九韶的求解一次同余式組方法與高斯算法是一致的，這才引起歐洲對這一問題的重視。對于“物不知數”問題，我國明代數學家程大位在《算法統宗》(《新編直指算法統宗》)一書中用歌訣形式給出了解法：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。其大意是用被3除的余數乘以70，用被5除后的余數乘以21，用被7除后的余數乘以15，然后相加，如大于105，便一次次地減去105，直至小于105為止。

2.3 素數

素數在整數理論中所占的地位是很重要的。根據算術基本定理，設整數a>1，a能被唯一的分解成a=p1p2…pk，其中pi(1≤i≤k)是滿足p1≤p2≤…≤pk的素數，可以說素數是構成整數的基本單元。在數論中涉及有關素數的難題是很多的。任教者可適當講解有關素數一些難題的研究進展情況，讓學生直接與難題“對話”，去揭開難題的“面紗”。

梅森素數：梅森素數是形如2P-1的素數，其中P為素數，它是以17世紀法國數學家馬林·梅森的名字命名，并記為MP。2300多年前，古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中證明了素數的個數是無窮的，并提出一些素數可寫成2P-1(其中P也是素數)的形式。自梅森素數提出以來，到目前為止只已發現了51個。第51個梅森素數M82589933于2018年12月7日由Patrick Laroche利用“互聯網梅森素數大搜索(GIMPS)”項目被發現，它的位數高達24 862 048位，它是當今所知的最大素數。在探索的過程中出現了很多有趣的事情，如“梅森猜測”“歐拉是我們每一個人的老師”“一言不發的演講”“美國伊利諾伊大學發行的紀念郵戳”“周氏猜測”神奇的書《2017年最大の素數》、研究梅森素數的重大意義等。任課教師可以選擇性地講解，讓學生對梅森素數有初步的認識，也可能會產生意想不到的結果。

哥德巴赫猜想：1742年6月7日，哥德巴赫在給歐拉的一封信當中提出了一個假設：每個偶數是兩個素數之和，每個奇數是三個素數之和。這就是聞名遐邇的哥德巴赫猜想。對于哥德巴赫給出的這一命題，1742年6月30日歐拉在給哥德巴赫的回信中給予了肯定。同時在回信中，歐拉也提出了另一個他也沒能證明的命題：任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和。哥德巴赫猜想自1742年被提出來以后，直到20世紀初才有本質性的研究進展。對于奇數哥德巴赫猜想，1937年蘇聯數學家維諾格拉多夫利用圓法和指數和估計給出了證明，這是哥德巴赫猜想證明的第一個實質性的突破。而對于偶數哥德巴赫猜想的研究進展，主要是依靠改進篩法來取得。在哥德巴赫猜想研究領域中，我國是占據著領先地位的。在哈代名下從事數論研究的數學家華羅庚參與中國科學院數學研究所的籌建，并于1952年出任所長。1953年，華羅庚組織領導哥德巴赫猜想討論班，并取得了豐碩的成果，這就包括王元的成果與潘承洞的成果，尤其是陳景潤的成果。1966年，數學家陳景潤宣布證明了“1+2”。后經改進，其“1+2”的詳細證明于1973年發表在《中國科學》，后被國際數學界公認是“篩法理論的光輝頂點”。他的成果被國際數學界稱為“陳氏定理”，寫進美、英、法、蘇、日等六國的許多數論書中。因這一成就，1978年他與王元、潘承洞共同獲得國家自然科學獎一等獎，這個成果的水平至今都無人超越。

3 結語

本文只是列舉了幾個有關初等數論課程中所涉及數學史方面的內容，而這一方面的內容是很多的，這需要我們教育者認真地去收集與挖掘。HPM視角下將數學史料滲透于初等數論課程實踐教學，可將枯燥的課堂生動化，這將有助于提高學生對理論知識本質的理解，增強學生自主學習的主動性，提升課堂教學效果，同時也可以使學生體會到數學史的教育價值。但是，需要指出的是，在具體的實踐教學過程中，不能一味地將數學史料進行堆砌，而是要“活用活講”，這樣才能收到預期的教學效果。