類比思想巧解大學物理問題

樊炎曦 趙嵐月 葉雅婧 葉晴瑩,2

(1. 福建師范大學物理與能源學院;福建 福州 350117； 2. 福建省量子調控與新能源材料重點實驗室，福建 福州 350117)

高中物理的學習中,方法很重要,這些方法可能就隱藏在各個學科之中,需要我們善于發現并加以利用. 運用類比推理法能很好地解決某些物理解題.這些難題可能超出所學知識范圍,但所運用的思想方法并不陌生.筆者將根據高中所學知識，運用類比推理的方法解答一道大學物理中變力做功問題,例題如下.

圖1

例1.如圖1,在動摩擦因數為μ的桌面上放置一根柔軟的鏈條,長度為L,將鏈條推出,使其垂直懸掛部分長度為a并由靜止開始下落,求鏈條恰好離開桌面時的速度.

此題難點在于鏈條所受的摩擦力和重力分別由于鏈條與桌面間的正壓力和豎直端鏈條質量隨著鏈條下降的高度變化而變化. 假設鏈條單位長度質量為λ.

若運用大學物理知識,解法如下.

如圖1建立坐標系,假設鏈條垂下部分長度為x.鏈條所受重力為G=λgx.(x為豎直垂下部分鏈條長度)鏈條所受滑動摩擦力:f=μλg(L-x).由牛頓第二定律有

F=G-f=λgx-μλg(L-x)=ma，

(1)

其中

(2)

聯立(1)(2)式得

[λgx-μλg(L-x)]dx=λLvdv.

兩邊同時積分

解得

這種方法需要用到高等數學微積分的方法. 我們也可以根據高中物理所學知識試分析一下.

由(1)式可知鏈條所受的合力并非恒力. 將系統所做的功分為重力功WG與摩擦力做功Wf. 重力為保守力,做功只與豎直懸掛鏈條始末狀態有關,則不難求解.

考慮到鏈條所受摩擦力:

f=μλg(L-x)=μλgL-μλgx=f1+f2，

解法如下.

如圖1:對于重力做功,只需考慮豎直鏈條始末狀態. 以桌面所在水平面為零勢能面,則鏈條初始狀態重力勢能:

(3)

末狀態重力勢能:

(4)

聯立(3)(4)式可得

WG=-ΔEp=(Ep1-Ep0)=

(5)

鏈條受到的摩擦力:

f=μλgL-μλgx=f1+f2.

對于恒力f1有:

Wf1=f1Δx=μλgL(L-a).

(6)

對于變力f2,類比于彈性力:

f2=-μλgx=-kx，其中k=μλg.

其初始位置具有的“勢能”:

末位置具有的“勢能”:

則

Wf2=-ΔEp=-(Ep1-Ep0)=

(7)

聯立(6)(7)式可得此過程摩擦力做功為

Wf=Wf1+Wf2=μλgL(L-a)-

(8)

聯立(5)(8) 式,由動能定理:

得

此類變力做功的問題,雖在高中物理課程中并未涉及,但我們根據類比方法,可以解決此類變力做功的問題.