超可加對(duì)策的邊際等分集

張 莉，常麗娜

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

1 引言

文章將邊際主義原則與平均主義原則加以結(jié)合，針對(duì)超可加對(duì)策提出了一種新的集合解—邊際等分集。證明了邊際等分集中的每一個(gè)解都滿足有效性與個(gè)體理性，也就是說它們都包含在分配集中，由此可見，邊際等分集是比較合理的分配方式。其次，文章給出了邊際等分集的分配單調(diào)性，越早瓜分收益的參與人得到的收益越多，以此鼓勵(lì)參與者積極為大聯(lián)盟的形成做貢獻(xiàn)。最后，證明了邊際等分集是均分核心的子集。

2 預(yù)備知識(shí)

一個(gè)對(duì)策 v 是超可加的，若 v（S∪T）≥v（S）+v（T）對(duì)所有的且都成立。本文中沒有強(qiáng)調(diào)的對(duì)策v均是超可加對(duì)策。

1972年Selten提出了等分配核[8]的概念

3 主要結(jié)論

在給出邊際等分集之前，我們先來定義一個(gè)序列博弈。

定義1給出了一個(gè)序列博弈，從大聯(lián)盟N中逐步剔除一些參與者，由剩下的參與者以及他們的特征函數(shù)構(gòu)成新的對(duì)策。

定義3 給定一個(gè)恰當(dāng)有序劃分π=〈T1，T2，…，Tk〉，基于π的邊際等分解

事實(shí)上，根據(jù)定義1，邊際等分解可以表示為

對(duì)于一個(gè)超可加對(duì)策v，可能存在多個(gè)恰當(dāng)有序劃分，每個(gè)恰當(dāng)有序劃分都可以得到一個(gè)邊際等分解，那么所有邊際等分解的集合，我們稱為邊際等分集（marginal equal split set），簡(jiǎn)稱 MESS。

為了幫助理解邊際等分集的概念，我們先來看兩個(gè)例子。

例 1 設(shè)有合作對(duì)策 v，N=｛1，2，3｝，

v（1）=2，v（2）=3，v（3）=1，v（12）=6，v（13）=4，v（23）=5，v（123）=8，

求該博弈的邊際等分集。

解：（1）先求每個(gè)聯(lián)盟對(duì)于大聯(lián)盟N的平均邊際貢獻(xiàn)：

（2）剔除參與者2后對(duì)策v2為v2（1）=2，v2（3）=1，v2（13）=4。

所以，T2={1}，x1=3。

（3）剔除參與者1后對(duì)策v3為v3（3）=1。

所以，T3={3}，x3=1。

綜上所述，該對(duì)策的恰當(dāng)有序劃分為π=〈{2}，{1}，{3}〉，其邊際等分集 MESS（v）=｛（3，4，1）｝。

例 2 設(shè)有合作對(duì)策 v，N=｛1，2，3，4｝，

求該博弈的邊際等分集。

（2）剔除參與者1、2，對(duì)策v2為v2（3）=0，v2（4）=0，v2（34）=0。

所以 T2={3，4}，x3=x4=0。

綜上所述在恰當(dāng)有序劃分 π=〈｛1，2｝，｛3，4｝〉下，該對(duì)策的邊際等分解為（50，50，0，0）。

同理考慮所有的恰當(dāng)有序劃分，最終求得該對(duì)策的邊際等分集

邊際等分集是一個(gè)集合解，它具有較好的性質(zhì)，我們可以證明超可加對(duì)策的邊際等分集是其分配集的子集。

證明：即證對(duì)任意的x∈MESS（v），則x∈I（v）。也就是說對(duì)任意的x∈MESS（v）都滿足有效性與個(gè)體理性。

取任意的x∈MESS（v），其對(duì)應(yīng)恰當(dāng)有序劃分〈T1，T2，…，Tk〉。

則

所以x是有效的。

令 i∈Tr，r∈｛1，2，…，k｝

則

其中，第一個(gè)不等式是根據(jù)邊際等分集的定義，第二個(gè)不等式是因?yàn)閷?duì)策v是超可加的。

因此，x是個(gè)體理性的。

根據(jù)邊際等分集的分配方式，我們推測(cè)越早分到收益的參與者，分得的收益也應(yīng)該越多。事實(shí)上，我們可以證明在超可加對(duì)策中，邊際等分集滿足這樣的分配單調(diào)性。

性質(zhì) 6 設(shè) v 是一個(gè)超可加對(duì)策，〈T1，T2，…，Tk〉是對(duì)策v的一個(gè)恰當(dāng)有序劃分，則

對(duì)所有的 r∈｛1，2，…，k-1｝均成立。

證：根據(jù)定義

而

所以

超可加對(duì)策的邊際等分集與已有的解之間也存在一定關(guān)系。超可加對(duì)策的邊際等分集是等分配集的子集。

令 x∈MESS（v），其對(duì)應(yīng)恰當(dāng)有序劃分〈T1，T2，…，Tk〉。

4 總結(jié)

文章結(jié)合“邊際主義”和“平均主義”原則提出了邊際等分集這一集合解，并給出了邊際等分集的一些良好的性質(zhì)，以此說明邊際等分集的相對(duì)合理性。缺陷在于邊際等分集只是針對(duì)超可加對(duì)策，對(duì)于一般合作對(duì)策不適用。在接下來的研究中，我們可以結(jié)合“邊際主義”和“平均主義”提出針對(duì)所有合作對(duì)策都適用的一般解，并說明該解的公平合理性。