讓學(xué)生在經(jīng)歷和體驗(yàn)中理解數(shù)學(xué)概念
——對“圓的半徑”概念教學(xué)的三次嘗試

康 黎

《圓的認(rèn)識》一課很多教師都上過公開課，大家都很熟悉。近期，我也上了這節(jié)課，感悟頗多。“圓的半徑”這一概念作為本課的教學(xué)重點(diǎn)該如何讓學(xué)生認(rèn)識、體會、最終達(dá)到理解的程度是我在備課和授課過程中重點(diǎn)思考的問題。為達(dá)到理想效果，我對這一知識點(diǎn)的教學(xué)進(jìn)行了三次嘗試。

備課前，我仔細(xì)地研讀了文本，領(lǐng)悟到“圓的半徑”概念的核心問題是學(xué)生對定點(diǎn)、定長的理解，而在學(xué)習(xí)方法上，觀察、比較、求同存異是幾何圖形概念教學(xué)中重要的學(xué)習(xí)方法，基于以上的基本理念和想法，我進(jìn)行了第一次教學(xué)。

●第一次教學(xué)：

概念教學(xué)前，學(xué)生通過學(xué)習(xí)圓規(guī)畫圓的方法，體驗(yàn)到了要畫成圓必須定下圓心（定點(diǎn)）和兩腳間的距離（定長），此時我試圖讓學(xué)生通過觀察、比較得到“圓的半徑”的概念。

師：看了你們畫的圓，現(xiàn)在老師也想畫個圓。請你觀察，老師在畫的過程中，圓規(guī)兩個腳之間的距離有沒有變化？（教師用圓規(guī)在黑板上畫圓）

生：沒有變化。

師：也就是說明定長沒有變化。

師：如果在圓內(nèi)用一條線段來表示定長，你們覺得應(yīng)該從哪一點(diǎn)到哪一點(diǎn)？能到黑板上指指嗎？

生：（邊指邊說）可以從圓心到圓的這里（指圓邊上一點(diǎn)）。

師：連接這兩點(diǎn)就可以嗎？

生：是。

師：（動手連接）只能連接這點(diǎn)嗎？

生：還可以是其他的點(diǎn)，只要在圓上就可以。

師：很好，也就說只要通過圓心連接圓上的任何一點(diǎn)都可以表示這個定長。

師：這個定長在圓中叫做半徑。用字母“r”來表示，誰能用一句話來描述一下什么是圓的半徑？

我以為，通過我畫圓、引導(dǎo)、學(xué)生觀察以及過程中的描述，學(xué)生說出半徑的定義不存在什么難度，但事實(shí)上和我想象的完全不同，學(xué)生對這個概念的描述很凌亂，也很零碎，他們似乎對這個概念并沒有很好的認(rèn)識，最后我好不容易把學(xué)生的描述拼湊在一起才把“圓的半徑”這個概念給摳出來。

問題到底出在哪里呢？第一次的設(shè)計(jì)讓我有種強(qiáng)烈的挫敗感。課后，跟幾位教師就這個問題進(jìn)行了交流。能不能改變一下學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，畫出圓后讓學(xué)生間先有個交流、有個碰撞，加深學(xué)生對這個概念的基本理解，之后再總結(jié)、概括出“半徑”定義呢？帶著這個思考，有了第二次教學(xué)（換了一個班）。

●第二次教學(xué)：

師：看了你們畫的圓，現(xiàn)在老師也想畫個圓。請你觀察，老師在畫的過程中，圓規(guī)兩個腳之間的距離有沒有變化？（教師用圓規(guī)在黑板上畫圓）

生：沒有變化。

師：也就是說明定長沒有變化。

師：如果在圓內(nèi)用一條線段來表示定長，你們覺得應(yīng)該從哪一點(diǎn)到哪一點(diǎn)？能到黑板上指指嗎？

生：（邊指邊說）可以從圓心到圓的這里（指圓邊上一點(diǎn)）。

師：連接這兩點(diǎn)就可以嗎？

生：是。

師：（動手連接）只能連接這點(diǎn)嗎？

生：還可以是其他的點(diǎn)，只要在圓上就可以。

師：很好，也就說只要通過圓心連接圓上的任何一點(diǎn)都可以表示這個定長。

師：這個定長在圓中叫做半徑。用字母“r”來表示，誰能用一句話來描述一下什么是圓的半徑？

師：先不著急舉手，同桌之間先相互說說，再體會一下半徑是怎么畫出來的！

其實(shí)前面的過程沒有變化，這次教師只多了一句話——“先交流，體會”，這就把原來的個體回答，變成了合作交流。多了一個體會的過程，這次效果比第一次好多了，部分學(xué)生很快準(zhǔn)確描述出半徑的定義，其余學(xué)生也能在這些學(xué)生的帶領(lǐng)下復(fù)述出半徑的概念，教學(xué)看起來順利多了。但我感覺還是不夠理想，按理說這個概念不難，都是描述性的語言，為什么教學(xué)就沒有想象中順暢？學(xué)生交流后就真的理解嗎？能說出來的東西就是他們自己的嗎？

“沒有問題處找問題，才能引發(fā)深入地思考”，我想知道的是：學(xué)生到底是自己總結(jié)出來的，還是根據(jù)其他學(xué)生的提示才得出的結(jié)論？課后我又找了一些學(xué)生來問，通過了解我知道，由于多了合作交流環(huán)節(jié)，有一部分學(xué)生是聽了其他學(xué)生的說法后背下來的，還有些學(xué)生是自己看了教材后說出來的。雖然課上完了，直播也播出去了，但對“圓的半徑”概念的教學(xué)在我心里始終還是有疑惑——怎么能讓大多數(shù)的學(xué)生真正能從理解的層面說得出、道得明呢？

一個到我辦公室還圓規(guī)的學(xué)生啟發(fā)了我。這個學(xué)生還圓規(guī)的時候，我問了一句：“學(xué)會用圓規(guī)畫圓的方法了吧？”“學(xué)會了。”他順手在我辦公桌的報紙上畫了一個圓，說“我自己會畫，肯定就能說出來。”一語點(diǎn)醒夢中人。

我還是決定再試一次，于是有了第三次的教學(xué)（又換了一個班）。

●第三次教學(xué)：

師：現(xiàn)在老師請同學(xué)們再畫一次圓，體會在畫的過程中，圓規(guī)兩腳有沒有變化。（學(xué)生畫圓）

生：圓規(guī)兩腳間距離不能變。

師：如果在圓內(nèi)畫一條線段來表示這兩腳間的距離，你能把這條線段畫出來嗎？請同學(xué)們在自己畫的圓上試一試。（學(xué)生嘗試）

師：能說說你是怎么畫的嗎？

生：我連接了圓心和圓上一點(diǎn)。

師：在小組里比較一下你們畫出的線段，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

生：雖然不一樣，但都經(jīng)過了圓心。經(jīng)過圓心連接了圓上不同的點(diǎn)。我畫了兩條，發(fā)現(xiàn)都一樣長……

師：經(jīng)過圓心連接了圓上不同的點(diǎn)。連接后又一樣長說明什么？

生：說明連接圓心到圓上的任何一點(diǎn)都可以。

師：這條線段就是圓的半徑。能用一句話描述出什么是圓的半徑嗎？

這次效果顯然好多了，大多數(shù)學(xué)生能較清晰、準(zhǔn)確地說出半徑的概念，少數(shù)學(xué)生的問題也限于用詞不夠準(zhǔn)確。應(yīng)該說基本上達(dá)到我設(shè)計(jì)的預(yù)想：讓大多數(shù)的學(xué)生真正能從理解的層面說得出、道得明“圓的半徑”的概念。

【反思】

在概念教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)。三次教學(xué)設(shè)計(jì)，三種不同的效果，讓我反思自己的教學(xué)行為，反思學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。

對比三次教學(xué)中教師和學(xué)生在課堂中的行為。

行為第1次第2次教師 畫圓 畫半徑 提問半徑概念學(xué)生 觀察 看教師畫半徑 個體回答教師 畫圓 畫半徑 提問半徑概念學(xué)生 觀察 看教師畫半徑 合作交流，得出概念第3次教師 提要求 進(jìn)一步引導(dǎo) 拋出問題，適時點(diǎn)撥學(xué)生 畫圓 畫半徑 相互對比，尋找異同，得出概念

從表格中教師與學(xué)生的行為變化我們不難發(fā)現(xiàn)：前兩次畫圓、畫半徑等主要操作部分都由教師完成，學(xué)生只是在被動接受，配合教師進(jìn)行簡單的對話。確切地說，在前兩次的動手活動中教師是活動的主體，對概念體會最深刻的，當(dāng)然也應(yīng)該是教師，而不是學(xué)生。我想，這也是前兩次教學(xué)效果不太理想的主要原因。第二次教學(xué)雖然改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，但學(xué)生沒有自我體驗(yàn)的過程，使得交流停在了完善語言表達(dá)的層面，沒有對思維有真正的觸動。而第三次教學(xué)中，操作部分全部由學(xué)生來完成，他們在動手實(shí)踐的過程中真切體驗(yàn)了“定點(diǎn)”“定長”“圓上一點(diǎn)”“圓上任意一點(diǎn)”，之后在對比異同和交流中又進(jìn)一步理解了圓上任意一點(diǎn)與圓心間距離都相等，可以說對概念的理解是在學(xué)生自我經(jīng)歷和體驗(yàn)中逐步建構(gòu)起來的。這樣的三次嘗試讓我深深體會到：教學(xué)中，教師必須讓全體學(xué)生參與和經(jīng)歷知識發(fā)現(xiàn)、探索的過程，使他們在探索數(shù)學(xué)的過程中“知其然”，更“知其所以然”。

俗話說“絕知此事要躬行”。動手實(shí)踐讓學(xué)生對概念的理解進(jìn)行了內(nèi)化。也許第三次教學(xué)還不是概念教學(xué)的最佳方式，但從三次教學(xué)的比較中，我還是深刻地體會到：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，要讓學(xué)生動手參與、親身體驗(yàn)，學(xué)生才能有話可說，才能有話會說，能說會說，道理也才自然而現(xiàn)！教師要尊重學(xué)生的意愿，尊重學(xué)生的學(xué)路。

英國的數(shù)學(xué)教材中有這樣的一句話是寫給教師的：學(xué)生用什么樣的方式解決問題是學(xué)生自己的事情。學(xué)生采用的方法對他自己來說就是最好的方法！而小學(xué)生最擅長的就是動手，最喜歡的也是動手，讓學(xué)生在動手操作中自主活動、自由表達(dá)、主動建構(gòu)，第三種教學(xué)方式剛好迎合了學(xué)生的這種需求，效果自然就出現(xiàn)了！數(shù)學(xué)概念是經(jīng)過觀察、質(zhì)疑、對比、驗(yàn)證后抽象出來的語言描述，把概念的文字描述背誦下來對小學(xué)生來講不難，但觀察、質(zhì)疑、對比、驗(yàn)證的過程一定要讓學(xué)生親身參與其中才有可能引發(fā)理解和思考，才能真正讓概念清晰地在學(xué)生頭腦中構(gòu)建起來！

皮亞杰說過：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展。”學(xué)生的思維只有在動手、動腦的過程中才能得到發(fā)展。