凸顯本質提升素養
——兼評兩節《倍的認識》教學設計

周衛東（特級教師）

章建躍博士指出：數學根本上是教概念的，數學教師是玩概念的。數學概念是數學知識的“細胞”，是進行邏輯思維的第一要素。一切數學規則的研究、表達與應用都離不開數學概念。數學概念是構成數學“四基”“四能”教學的重要內容，又是數學學習的核心所在。概念課是小學數學教學中的一種主要課型，數學概念教學是課堂教學最重要的環節之一。

無疑，“倍”是一個重要的數學概念。雖沒能看到兩則設計的“現場版”，但從字里行間的反復玩味中，可以感受到：殷芊老師的《關注本質 夯實概念》（后簡稱設計一）與姚晶晶老師的《促進學習真正發生》（后簡稱設計二）兩則教學設計，在凸顯概念本質、經歷學習過程及提升數學素養等方面均有著許多值得廣大同行學習與借鑒的地方。

一、追根溯源，厘清本質

美國著名的數學教育家赫斯認為：“數學教學的問題并不在于尋找最好的教學方式，而在于明白數學是什么，如果不正視數學的本質問題，便永遠解決不了教學上的爭議。”一般認為，數學知識的本質，既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性。數學教學教什么？毋庸置疑，擺在第一位的肯定是教教學內容的本質。

“倍”的知識在小學數學內容中有著十分重要的位置。荷蘭著名數學家弗賴登塔爾指出：“數的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計數的數、數量的數、度量的數和計算的數……，其中所謂‘度量的數’，就好比用勺子一次次舀空裝滿水的容器那樣，用一個單位去量那個量?！边@里，量得的結果就得到一個“倍”數。換一個角度來看，在小學數學教學內容中，“數的認識”包括數的意義、數的表示、數與數之間的關系和數的應用，而“數與數之間的關系”既包括數與數之間的相差關系，也包括數與數之間的倍數關系。“數與數之間的倍數關系”貫穿于小學學習的全過程，具體體現在“份”“除法”“分數”“比”“百分數”等知識中?？梢?，對知識結構而言，“倍”具有“種子”的作用，其本質是否清晰、是否牢固將直接影響到其他相關概念及概念體系的建構。

二、選準基點，引出概念

“盲人摸象”的故事告訴我們，盡管盲人們有各種準確的信息，卻不能正確地認識大象。因而如果我們要教學生認識大象，一定是把他帶到大象實體或者是大象的圖片（影像）前，讓他們有完整的認知。數學教學也應該這樣：給學生一個現象，讓他們接受完整而鮮活的數學信息。他們通過自己的信息采集和加工，從而形成的數學知識就是實在的也是容易牢固記憶的。

概念的引入有兩種方式，即概念的形成和概念的同化。顯然，“倍”知識的教學屬于概念形成的教學。兩則教學設計在準確厘清概念的本質特征后，都能朝向概念的“全貌”，圍繞“兩個量的比較”展開，很好地引導學生經歷概念的形成過程。設計一圍繞“藍花有2朵，紅花有6朵”，在學生提出“求和”“求差”兩類數學問題之后，引出新的問題“除了比較多少，還有一種比較方法，今天我們就來學習這種特別的比較方法”，把2朵藍花和6朵紅花排成兩行后，“像這樣把2朵藍花圈起來看作1份（邊說邊圈），那紅花有這樣的幾份呢？”“藍花有2朵，紅花有3個2朵，我們就說紅花的朵數是藍花的3倍”，通過這樣的方式，直奔中心、簡潔明快地引出了“倍”的概念。而設計二則有著鮮明的兒童立場，把教學“安放”在學生經驗的土壤之中?！爸?，你們聽過或者在哪兒見過‘倍’嗎？它是用來表示什么的呢？”繼而，出示三幅圖，讓學生辨析：“哪一幅圖可以表示紅花的朵數是藍花的3倍？”此時，學生會充分調動自己的經驗儲備，試圖對“3倍”進行辨析與解釋，進而明晰：每幅圖中都有“3”，只有第二幅表示的是3倍的關系，另外兩幅圖都是相差3個；“3倍”的意義和圖3中每份“3個”的區別。

三、多元表征，促進理解

多元智能理論創始人加德納認為：任何一個重要的、復雜的概念都可以運用多種方式來理解和表達。鄭毓信教授則提出：應當幫助學生建立概念的多元表征，并根據需要與情境在表征的不同成分之間做出靈活的轉換，使學生對數學概念有一個更深刻、更全面地認識與理解，培養學生思維的靈活性。

表征有不同的方式，可以是具體形象的，也可以是語詞的或要領的。兩則設計都能創造機會，較好地發揮表征在概念理解中的作用。設計一中，在學生理解了“倍”的基本含義之后，創設了“請你擺一擺，要求擺出的紅花的朵數是藍花的2倍”“如果是擺小棒呢？怎樣擺才能使得第二行小棒根數是第一行的2倍？”的教學情境，讓學生自由創編，進而明白：不管是紅花、藍花，還是小棒等不同的材料，也不管是兩者數量如何變化，只要把其中一種當作1份，另一種有兩個這樣的1份，那么，另一種的數量就是前一種數量的2倍。設計二中也有類似的教學環節：“你能畫出一個和圖3不一樣的‘2倍’嗎？”相較于設計一，由于少了材料的限制，則顯得更加開放與靈動。

誠如波利亞所指出的那樣：數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來像是一門實驗性的歸納科學?？梢姡缟辖虒W環節的設計，學生對動手實踐活動興趣更濃，參與熱情更高，體會更深刻，學習效果更突出。也充分表明，數學不僅是嚴謹的演繹，更是創造中的歸納。

四、貼進學生，提升素養

“教學追求被吸引”。好的教學應該具有“戰略”性的價值，也就是說，不僅僅要讓學生運用已學知識解決一些典型的問題，而且還要力求找尋知識的“附加值”，尋找知識的隱性教學功能，帶領學生體會那種登高遠眺、“一覽眾山小”的快感。

促理解進階。兒童學習概念的初始階段，或因固有經驗中迷思概念的影響，或因概念非本質屬性的干擾，常常會出現“依葫蘆畫瓢”的現象，所以適當的、有意義的訓練顯得非常重要。兩則設計深諳此道。設計一安排了“畫一畫、比一比”“猜水果”“裝球游戲”三道練習；設計二則安排“基礎練習”“提高練習”和“挑戰練習”三道練習。這些練習有效地體現了基礎性、精準性、深刻性與愉悅性等特點。第一是基礎性，兩則設計的第一題都是基礎性練習，幫助學生進一步加深對“倍”的含義的理解。第二是精準性，設計一的第二題“猜水果”讓學生圍繞兩條線索猜“哪一箱是蘋果，哪一箱是梨子”，與設計二的第二題中“紅氣球的個數比黃氣球多2個”有異曲同工之妙，都是把兩個量之間可能有的“相差關系”和“倍數關系”再次“見面”并加以剖析，使新知的本質特征進一步凸顯。第三是深刻性。設計一和設計二的第三題，均糅雜了多個知識點，有著較大的思維空間，激活了學生的思維，使其對“倍”的理解達到再進一個“階”的水平。

使思想孕育。每個數學知識都兼有事實性、概念性、方法性、價值性四個側面。知識的事實性指人們在日常生活中對此的感悟和總結；沒有概念去概括，客觀的事實或現象只能是經驗；沒有方法去運用，概念或原理只能是詞語符號；沒有價值取向的揭示，方法只能是機械的步驟，而這種價值取向，更多地聚焦于揭示數學知識背后的靈魂——數學思想。難能可貴，兩則教學設計均在事實性、概念性和方法性等方面做足文章的同時，在數學思想的滲透方面也做了一定的嘗試。比如，通過多次變化比較雙方數值的大小得出倍數，引導學生多次對比，從而明白倍數的含義，有機滲透了抽象的基本思想；圍繞大問題，讓學生進行自由表征，在多幅作品的對比中，使學生明晰，所謂倍數，就是一個數量包含了幾個另一個數量，在“變與不變”的體驗中，有機滲透了建模的基本思想；結合觀察、表征、填空等環節，在兩種數量對比過程中，要求有序擺放，體會上下對齊的優勢，有機滲透了“一一對應”的思想等。

當然，課堂教學的追求是無止境的，應該永遠是一個“朝向”的姿態。兩則教學設計均突出了用“幾倍數”去比“一倍數”得出倍數的過程，而“倍”作為一種“度量的數”，似乎還可以反向強化，通過有效地設計，突出“用勺子一次次舀空裝滿水的容器那樣舀”的味道，從不同的側面強化“倍”的本質，若如此，可能會更有深度和意蘊了。