MATLAB在《數(shù)值分析》課程中的教學(xué)研究
——插值方法及其應(yīng)用分析

靳海娟

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

1 前言

《數(shù)值分析》（Numerical Analysis）是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的必修課程。為了達(dá)到理想的教學(xué)效果，借助MATLAB軟件以實(shí)驗(yàn)課的形式輔助教學(xué)越來(lái)越常見(jiàn)。MATLAB是目前世界上最為通用的數(shù)學(xué)和工程計(jì)算軟件之一，尤其是在《數(shù)值分析》課程的算法實(shí)現(xiàn)方面，發(fā)揮著巨大的作用。

2 基于MATLAB軟件的插值方法

2.1 插值法的基本概念

x0，x1，x2，…，xn為[a，b]上 n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，f（x）為定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，準(zhǔn)為給定的一個(gè)函數(shù)類，若準(zhǔn)上有函數(shù)φ（x），滿足

則稱 x0，x1，x2，…，xn為插值節(jié)點(diǎn)，φ（x）為插值函數(shù)，f（x）為被插函數(shù)，這種求函數(shù)近似式的方法稱為插值法[6]。

2.2 多項(xiàng)式插值

2.2.1 Lagrange插值法

先構(gòu)造 Lagrange插值基函數(shù) li（x）（i=0，1，2，…，n），它的次數(shù)不超過(guò)n，且滿足

然后以對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的函數(shù)值為系數(shù)作線性組合，即得所要求的多項(xiàng)式，由多項(xiàng)式li（x）有n個(gè)根xj（j=0，1，…，i-1，i+1，…，n）故它必有如下形式：

n次Lagrange插值多項(xiàng)式的Ln（x）的公式為：

余項(xiàng)為

ξ 介于 x與節(jié)點(diǎn) x0，x1，…，xn之間。

2.2.2 牛頓插值法

設(shè)有函數(shù)f（x），x0，x1，x2，…，xn為一系列互不相等的點(diǎn)，

k=1，2，…，n為f（x）關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，xk的1階差商，

（k=1，2，…，n）為f（x）關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，xk的二階差商。

一般的若定義了k-1階差商，則稱

其中Newton插值公式為：

注意：由插值多項(xiàng)式的唯一性定理可知，Nn（x）=Ln（x）為f（x）關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，x2，…，xn的Lagrange插值多項(xiàng)式。

2.2.3 分段線性插值法

分析插值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)線為原函數(shù)f（x），在[-5，-4]和[4，5]部分，L10（x）比L5（x）效果更差，這種高階插值的振蕩現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象。避免高階插值Runge現(xiàn)象的基本有效方法是使用分段函數(shù)進(jìn)行分段插值。

對(duì)給定的區(qū)間[a，b]作分割（一般選擇等分）：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b 在每個(gè)小區(qū)間 [xi，xi+1]上作f（x）以xi，xi+1為節(jié)點(diǎn)的線性插值，記這個(gè)線性插值函數(shù)為si（x），則

于是就得到了分段線性插值函數(shù)。記為P（x），P（x）有如下特點(diǎn)：

圖1 高階插值的Runge現(xiàn)象

P（x）∈C[a，b]。

P（x）在[xi，xi+1]上為一個(gè)不高于一次的多項(xiàng)式。

2.3 插值法的應(yīng)用分析

在漁業(yè)評(píng)估的問(wèn)題中，往往要求解體長(zhǎng)與體重的關(guān)系。下面我們分別運(yùn)用Lagrange插值法，Newton插值法和分段線性插值法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析研究。基本思想如下：

把測(cè)量次數(shù)確定為j=0，1，…，n時(shí)，測(cè)量同一種不同大小的魚(yú)類樣品對(duì)應(yīng)的體長(zhǎng)與體重?cái)?shù)據(jù)（xj，yj），其中xj表示第j條魚(yú)的體長(zhǎng)，yj表示第j條魚(yú)的體重，即求n次多項(xiàng)式Pn（x），使?jié)M足條件：

xj為插值節(jié)點(diǎn)。已知一組魚(yú)體長(zhǎng)與體重的實(shí)測(cè)結(jié)果如下表1所示。

表1 北部灣藍(lán)圓鱔體長(zhǎng)和體重的的實(shí)測(cè)結(jié)果

取四個(gè)節(jié)點(diǎn) x0，x1，x2，x3。分別用 Lagrange插值，Newton插值，分段線性插值法進(jìn)行插值，構(gòu)造3階插值多項(xiàng)式與原函數(shù)進(jìn)行比較，分析各個(gè)插值多項(xiàng)式與原函數(shù)的接近程度。

表2 節(jié)點(diǎn)表

由此可得Lagrange插值多項(xiàng)式：

Newton插值多項(xiàng)式：

其中

表3 3階差商

由L3（x）與N3（x）的計(jì)算結(jié)果可知L3（x）=N3（x），也正驗(yàn)證了插值多項(xiàng)式的唯一性這一結(jié)論。下面用MATLAB作圖比較Lagrange插值多項(xiàng)式與原函數(shù)的接近程度，進(jìn)而分析Lagrange插值法的插值效果，結(jié)果如圖3所示。

圖2 Lagrange插值與原函數(shù)圖像比較

圖3 分段線性插值與原函數(shù)作圖比較

由運(yùn)行結(jié)果可知，實(shí)線為原函數(shù)f（x），虛線為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式L3（x）或Newton插值多項(xiàng)式N3（x）。分析插值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，Lagrange插值法的插值效果符合要求。

（3）分3段線性插值多項(xiàng)式

下面用MATLAB作圖比較分段線性插值多項(xiàng)式與原函數(shù)的接近程度，進(jìn)而分析分段線性插值法的插值效果。

由圖2，圖3可知，實(shí)線為f（x），虛線為P（x），且分段線性插值多項(xiàng)式P（x）的S2（x）與原函數(shù)完全重合，從圖2和圖3對(duì)比可以看出：用分段線性插值法比Lagrange插值法更接近原函數(shù)。

則有以下結(jié)論：已知魚(yú)的體長(zhǎng)估測(cè)其體重時(shí)，運(yùn)用Lagrange插值法和Newton插值法結(jié)果是相同的，但從其多項(xiàng)式表達(dá)式上講，Newton插值要比Lagrange插值簡(jiǎn)單。在運(yùn)用Lagrange插值法時(shí)，要注意插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的選擇，當(dāng)節(jié)點(diǎn)選擇過(guò)多時(shí)，高次多項(xiàng)式雖然是連續(xù)的，但是很多情況下不一定收斂，甚至可能會(huì)產(chǎn)生Runge現(xiàn)象。而分段線性插值則因?yàn)樵诿恳恍^(qū)間上都是線性插值，從而極大地降低了插值多項(xiàng)式的次數(shù)，克服了Lagrange值法當(dāng)節(jié)點(diǎn)不斷加密時(shí)出現(xiàn)的Runge現(xiàn)象。它的缺點(diǎn)是所求的插值函數(shù)的光滑性較差，這就要求一種更好的方法來(lái)克服這一缺點(diǎn)。