知識生成化、計算機械化：高職院校高等數學教學改革之路

王積社

（巴中職業技術學院 教育學院，四川 巴中 636600）

2014年，《國務院關于加快發展現代職業教育的決定》對職業教育提出了培養高素質勞動者和技術技能人才的要求，但是近年來高職院校生源質量下滑[1，2]，故而高職院校面臨著“生源差、要求高”的嚴峻挑戰，尤其是高等數學教學。于是轉化差生、提高數學素質與能力就成了高職院校高等數學教學研究的重大課題。筆者認為：知識生成化能使學生知其理、明其意，可解決轉化差生、提高數學素養問題；數學機械化可增加學習興趣、降低計算難度、提高計算及應用能力。

1 高素質的思考

1.1 素質與素養

1999年，國務院發布了《關于深化教育改革，全面推進素質教育的決定》，從此正式拉開了素質教育的帷幕。2014年，教育部印發了《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》（簡稱為《意見》），提出研究制訂學生發展核心素養體系的要求，從此核心素養進入了教改行列。

那么“推進素質教育”，“發展核心素養”，何種關系？如何理解？盡管有學者做了討論，但未見清晰的結果，故在此陳述筆者的觀點。先從詞義上辨析：

素質：《辭海》解釋為“人的生理上的原來的特點；事物本來的性質；完成某種活動所必需的基本條件”。但因為“生理”重在生物機體，“事物”重在客觀存在，所以對教育而言將素質解釋為完成某種活動所必需的基本條件較合適。

素養：《辭海》解釋為“修習涵養；平素所供養”。但因為“供養”重在提供生活需要，所以對教育而言將素養解釋為修習涵養較合適，即素養意為修習涵養，也就是修養，而《辭海》解釋修養為“修習涵養指在政治、思想、道德品質和知識技能等方面經過鍛煉和培養而達到的一定水平，平素所供養特指逐漸養成的在待人處事方面的正確態度”，而這兩條都是“完成某種活動”的基本條件，所以可認為素養是素質的細化。

總之，培養核心素養是推行素質教育的核心任務，或者說素質教育就是提升學生的素養，尤其是核心素養。

實際上，《意見》之“總體要求”的工作目標是“……著力培養學生高尚的道德情操、扎實的科學文化素質……”，而“主要環節”則要求“發展核心素養”，所以《意見》也表明素養是素質的細化。

1.2 高素質界定

欲知高素質，則需高素養，而有研究[3]確定面向21世紀核心素：“一是領域素養（即具體專業領域中的素養，如語言素養、數學素養等）；二是通用素養，包括高階認知（批判性思維、創造性與問題解決、學會學習與終身學習）、個人成長、社會性發展”，將此作為高素質中的高素養理所當然。于是培養高素質勞動者和技術技能人才，亦即是要培養具有“通用素養+專業素養”的勞動者和技術技能人才。

2 差生轉化的思考

數學差生，不排除數學天賦不足或自身努力不夠等因素所致，但一般情況下“不正確的數學教學觀是導致數學基礎差的重要原因，……防止數學差生產生和轉化數學差生都需要教師樹立建構主義的數學教學觀”[4]。

的確，不正確的數學教學觀是導致數學基礎差的重要原因，比如我國傳統的數學教學是形如“定義→性質→定理→例題”的“結論式”教法（結論式，即只要求學生死記硬背知識結果），然而強行記憶枯燥無味的數學結果，能有何種效果不言而喻。

無疑，建構主義方法可以較好地防止數學差生產生和轉化數學差生，不過問題在于能否徹底地構建。其實，之所以差是因為不懂，而如何能懂，用馮友蘭先生的話則應該“知其意，明其理”，也就是知其然又知其所以然。比如人教版初中數學教材是這樣設計的：給出一串關于的不等式（即是包含的開區間套），由此得到…。知其所以然了嗎？非也，反倒是一堆來歷不明的不等式使學生更暈了。也就是說如此“知其所以然”并不徹底，要徹底還需要讓學生理解這堆不等式是如何得到的。于是筆者喜歡說：不僅要知其然，而且要知其所以然，更要知其因何而所以然。如此才能讓學生徹底明白道理，道理明白啦，差生自然也就少啦。

3 數學素質的思考

3.1 數學素養

關于數學素養定義，沒有定論。不過從測試角度看，PISA的定義“數學素養包括數學思考與推理、數學論證、數學交流、建模、問題提出與解決、表征、符號化、工具與技術”越來越得到世界各國的關注[5]。并且[5]認為PISA所定義的是數學素養的外顯，所以即給出了自己的定義“數學素養指學生在已有數學經驗的基礎上，通過數學活動對數學的體驗、感悟和反思，并在真實情境中表現出來的一種綜合性特征。廣義的講是一種綜合性特征，狹義的講，是指在真實情境中有意識地應用數學知識與技能理性地處理問題的行為特征”，并認為自己的定義不僅注重了數學素養的生成過程，也注重了數學素養外顯。不過筆者認為它的定義是揭示了數學素養的內涵（顯然，此內涵屬建構觀），并且揭示內涵的定義對教學設計更加重要。譬如“數學論證”，“講授定理的證明”與“講授定理的形成過程”都是是給出了定理的論證，但對素養的提升來說后者遠優于前者，因為后者揭示了數學素養的內涵。

3.2 數學素養的提升

上文已述，差生的轉化、素養的內涵都指向建構[4，5]，其實，從理論上講建構的確是提升數學素養的最好方法。不過遺憾的是實際教學中卻不盡如人意，這由美國關于“建構主義教學：成功還是失敗”的大辯論[6]就能看出。另外建構主義教學也只能在低年級教學中徹底踐行[7]。實際上，因為建構主義強調學生自主建構[8]，但是隨著學習層次的提高，縱使在教師的指導下，學生也很難建構出需要學習的知識，因為“要求學生像科學家那樣去學習科學課程是難以成功的[6]”。因此從教學視域看，建構教學“小學還可以，初中有困難，高中困難大，大學大困難”。

因此，面對提升數學素養的需求，我們既不能硬搬建構主義，又必須摒棄結論式教學，這就需要選擇自己的道路。筆者基于懷特海的過程哲學與波蘭尼的意會哲學，結合自己從教小中大學五十年的學教學經驗，經過研究升華，提出了“過程→生成”教學理念[9]，簡述如下。

所謂“過程→生成”教學理念，是指基于學生，酌情選擇認知理論，在適當的問題情境中由“學生”或“教師”建構具有整體性、連續性、生成性的知識形成過程，獲得具有思想性、思維性的知識結構。

“過程→生成”教學理念，不同于生成教學，因為生成教學要求學生自主生成[7]，而“過程→生成”則既可學生生成，也可教師生成；也不同于過程教學，因為過程教學僅注重過程，但“過程→生成”則要凸顯生成。

“過程→生成”教學理念，既不是具體的教學模式，也不是具體的教學方法，而是適應于各個學科、各種教學模式、各種教學方法、有益于提高學生素質與能力的教學理念。已有的教學模式或方法，依此理念設計，即可轉化為全新的模式或方法，如：“過程→生成”式研究性教學、“過程→生成”式建模教學、“過程→生成”式發現教學、“過程→生成”式小組合作、“過程→生成”式案例教學、“過程→生成”式講授法等等。

基于“過程→生成”理念教學，首先要盡可能地由學生建構，當有困難時可由教師輔助學生建構，當困難很大或條件不允許時（比如教學時間不足）則可由教師講授，當然是“過程→生成”式講授。如此，目的是使學生始終在有思想、有思維、有生成的知識形成過程中潛移默化地成長。實際上創造性思維只能在創造性環境中熏陶而成。

實踐證明，“過程→生成”教學能突破結論式教學的桎梏以及建構教學只能在低年級教學或非良構學科教學中實施的瓶頸，可用于不同層次（小學、初中、高中、專科、本科）、不同學科的教學，同時也有利于在課堂教學中提升學生的核心素養。

3.3 知識生成簡例

例：關于矩陣及矩陣的乘法等概念，如果直接告訴學生，那么即因為學生不理解這些東西的意義及價值，最多也只能是盲從地記憶與計算，從而對矩陣越學越糊涂。但若按照下圖的思路設計教學方案（當然，如此設計定不能按照傳統的格局來安排教學內容，具體設計另文給出），矩陣及其乘法運算也就有了實在的意義，然后再加以多方面的思考、應用及練習，即可使學生基本上知其意、明其理。

4 能力培養的思考

4.1 數學能力

何謂數學能力，同樣眾說蕓紛，文獻[10]提出了“數學地提出問題、數學表征與變換、數學推理論證、數學建模、數學地問題解決和數學交流”六大數學核心能力，與PISA的數學素養基本一致。因為“提出→表征→論證→建模→解決→交流”是知識形成過程的基本特征，所以“過程→生成”教學即適合于數學能力的培養。

4.2 數學機械化能力

數學機械化，就是使用計算機解決數學問題。重要嗎？當然重要！首先，1978年吳文俊大師就指出：“在不久的將來，電子計算機之于數學家，勢將與顯微鏡之于生物學家、望遠鏡之于天文學家那樣不可或缺”。其次，數學的作用和應用體現在信息時代的方方面面[11]，數學機械化方法在以計算機為代表的信息化時代豈能遜色。再次，大數據時代，數學直接指導數據的分析[12]，當然需要數學機械化方法。總之，數學、計算機、信息化、大數據密切相關，學習、掌握數學機械化技能勢在必行。另外，兒童、青少年對計算機的應用獨有情鐘，所以數學學習中學習數學機械化技術既可提高學習興趣，又能降低數學計算難度。

5 結論

知識生成化，即是基于“過程→生成”理念設計知識形成的方案，此乃學習數學知識、提高數學素養、發展思維能力、積蓄創造潛力的有效方法；計算機械化，即是使用計算機計算數學問題，對學生而言，至少學習一種數學軟件的使用，使其跨入數學機械化的門檻，為以后的應用與發展打下基礎，并且有益于提高學習興趣，能降低計算難度。而數學軟件的學習，也需要遵循“過程→生成”理念，如此才能提升數學軟件的活力。

實際上，知識生成化，計算機械化，不僅是高職院校高等數學教學改革、教材改革之路，也是所有數學教學改革之路，在電子設備豐富多彩的今天小學也不例外。不僅適用于數學教學，也適用于各個學科的教學。