貝葉斯統(tǒng)計中單參數(shù)后驗分布的精確計算方法

黨 紅

（長治學院 數(shù)學系，山西 長治 046011）

1 引言

統(tǒng)計學界主要分為兩大學派：經(jīng)典統(tǒng)計學派和貝葉斯統(tǒng)計學派，兩者的主要區(qū)別在于是否利用先驗信息，主要分歧在于是否把總體中的未知參數(shù)看作是一個隨機變量。

近年來，貝葉斯統(tǒng)計思想在不同的領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，2017年薛玲余研究了貝葉斯估計在教育學中的應(yīng)用[1]，2017年鐘建軍等研究了貝葉斯統(tǒng)計在心理學上的應(yīng)用[2]，2018年張翠玲，譚鐵君研究了基于貝葉斯統(tǒng)計推理的法庭證據(jù)評價[3]，2012年王彩鳳等研究了中國股市量價關(guān)系分析中的后驗分布構(gòu)造與模擬[4]。貝葉斯統(tǒng)計中一切統(tǒng)計推斷都是基于后驗分布來進行的，所以后驗分布的重要性不言而喻。

2 后驗分布的計算方法

2.1 直接計算后驗分布

在一個單參數(shù)貝葉斯統(tǒng)計問題中，設(shè)X～p（x|θ），在獲得樣本X后，參數(shù)θ的后驗分布即為給定X=x條件下θ的條件分布，記為π（θ|x）

其中，p（x|θ）為樣本 X 對應(yīng)的總體分布，π（θ）為參數(shù)的先驗分布。

當已獲得樣本為X1，X2，…Xn時，可以利用似然函數(shù) L（x|θ）代替（1）式中的總體分布 p（x|θ）來計算后驗分布，即

例 1 設(shè) X|θ～B（n，θ），參數(shù) θ服從均勻分布 U（0，1），求參數(shù) θ的后驗分布[5]。

解：因為 X|θ～B（n，θ），則其概率分布為

參數(shù) θ的先驗分布為 π（θ）=1，θ∈（0，1），故由后驗分布

得到

即，參數(shù)θ的后驗分布為貝塔分布Be（x+1，n-x+1）

2.2 由后驗分布的核計算后驗分布

式（3）中，p（x|θ）π（θ）即可作為后驗分布 π（θ|x）的核，左端和右端兩式相差一個與參數(shù)θ無關(guān)的常數(shù)因子，將 p（x|θ）π（θ）正則化即可得到后驗分布。

例 2 設(shè) X|θ～N（θ，σ2），其中 σ2已知而 θ未知，參數(shù) θ的先驗分布為 N（μ，τ2），其中 μ 和 τ已知，求參數(shù)θ的后驗分布[5]。

解：因為 X|θ～N（θ，σ2），則其概率密度為

參數(shù)θ的先驗密度為

則參數(shù)θ的后驗密度

然而，常見的統(tǒng)計分布是非常有限的，式（3）中后驗分布的核在針對較為常見的分布時才便于計算。

上述兩種方法是僅有的針對單參數(shù)貝葉斯統(tǒng)計模型的精確后驗分布的計算方法。由于常見的分布十分有限，精確計算方法在實際應(yīng)用過程中具有局限性，這也是精確計算方法的主要缺點。

3 結(jié)束語

文章旨在為后驗分布在實際應(yīng)用中的計算提供理論基礎(chǔ)，如果對后驗分布計算中的要求精度不高的話，在后驗分布計算方面還可以用利用R軟件[6]、SPSS軟件或Matlab軟件做輔助工具，更有利于簡化貝葉斯統(tǒng)計中后驗分布的計算，這也是后續(xù)研究過程中需要注意的方向。