范德蒙矩陣形式下的病態線性方程組求解

王慧蓉，賈武艷

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

在許多科學和工程領域中，常常會遇到求解線性方程組的問題，而方程組解的準確性則由其性態所決定。病態線性方程組是在計算過程中經常要遇到的問題，因其系數矩陣的條件數很大，故會使得解嚴重失真。近年來，求解病態線性方程組的新算法不斷推出，文獻[1]采用了正則化方法求解病態方程組，文獻[2]提出了病態問題的增廣方程組法，文獻[3]給出了精細積分解法等，并給出了一些數值例子來說明有較好的效果。但這些算法中選取的數值例子比較單一，大多數都以Hilbert矩陣為例來研究病態線性方程組，而針對系數矩陣為范德蒙德矩陣的研究相對較少。

文章選取以系數矩陣為范德蒙德矩陣的病態線性方程組，借鑒文獻[4]提供的單參數迭代法和文獻[5]中的新主元加權迭代法，對病態線性方程組進行分析求解。結果表明選取的迭代方法切實可行，對分析此病態線性方程組有很大幫助。

1 范德蒙德矩陣的病態性分析

選取n階的范德蒙德矩陣如下：

估計其階數與2-條件數的關系，分析其病態性。

表1 階數n與條件數

由表1的數據可知，隨著范德蒙德矩陣階數的增加，其2-條件數也越來越大，病態性也越來越嚴重參見文獻[6-7]。為更直觀地了解階數與條件數之間的關系，對條件數增長率進一步分析，如圖1所示。

圖1 2-條件數的對數（log（cond（H）））與階數n的關系圖

從圖1中可以看出，當范德蒙德矩陣的階數增加時，其對應的條件數在不斷增加，病態程度也越嚴重。

2 單參數迭代法求解病態線性方程組

設病態線性方程組為：

其中系數矩陣A為范德蒙德矩陣，

即

對于上述線性方程組，取n=10，A的條件數為cond2（A）≈1.2×1014，可以看出此時矩陣A是嚴重病態的矩陣。用單參數迭代法對這個線性方程組進行求解，其中單參數迭代算法的參數ρ=1.000001（經過多次驗證所得），得到表2的數值結果。

由表2可得：單參數迭代法對此病態線性方程組的求解效果比較好，迭代次數上有比較明顯的優勢，此方法對求解一般的病態方程組是非常有效的。

表2 解的近似值（n=10，ρ=1.000001）

3 新主元加權迭代法求解病態線性方程組

設病態線性方程組：

其中系數矩陣為范德蒙德矩陣，

下面用新主元加權迭代法對這個線性方程組進行求解，得到的結果如表3所示。

表3 解的近似值（n=10加權因子為ρ=1.000001）

由表3的數據可知，此方法相較于文獻[4]和文獻[8]中的方法，迭代次數明顯減少，收斂速度也更快，解的精確度也非常高。在經過多次數值實驗選取合適的加權因子后，對求解階數不高時的病態線性方程組是有效的。

下面進一步分析加權因子取值的不同對此病態線性方程組解的影響。

表4 加權因子與絕對誤差

從表4可以看出，對于加權因子ρ=0.0001，隨著階數的增加，絕對誤差在增大。當階數增加到12時，在重新選擇ρ=0.0001的基礎上，發現絕對誤差繼續增大，說明本方法還有待進一步改進。

4 結論

由上述研究結果可知，方法一（單參數迭代法）收斂速度快，是比較實用和有效的算法。方法二（新主元加權法）降低了矩陣的條件數，提高了收斂速度和精度。通過Mat l a b軟件編程并運算以系數矩陣為范德蒙德矩陣的病態線性方程組可知，這兩種方法都有較好的求解效果。但是對于矩陣元素過大的病態線性方程組，加權因子ρ應如何更合理地選取，還有待進一步研究，以提高算法的有效性。