復積分的幾種常用計算方法的研究

劉麗敏 向修棟 武洪萍

【摘 要】本文主要研究復積分的幾種常用計算方法，如參數方程法，Newton-Leibnitz公式，參數方程法的重要結論，Cauchy-Gusa定理，Cauchy積分公式，高階導數公式，復合閉路定理，留數定理等.選取典型例題，針對每個例子給出相應的方法，比較、分析，歸納總結出不同類型復積分的解題技巧。

【關鍵詞】復積分;參數方程法;Cauchy積分公式;留數定理

中圖分類號： O174.5;O172.2 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）16-0065-004

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.16.029

Research on Several Common Computational Methods of Complex Integral

LIU Li-min1 XIANG Xiu-dong1，2 WU Hong-ping1，2

（1.Shengli college China university of petroleum， Dongying Shandong 257000， China;

2.China university of petroleum，college of science， Qingdao Shandong 266580， China）

【Abstract】This paper mainly studies the complex integration of several common calculation methods，such as parametric equation method，Newton-Leibnitz formula， an important conclusion parametric equation method，Cauchy-Gusa theorem，Cauchy integral formula，higher derivative formula，complex closed circuit theorem， residue theorem，etc.Select typical examples and give the corresponding method for each example，comparison，analysis，then summarize the different types of complex integrals problem solving techniques.

【Key words】Complex Integral; Parametric Equation Method; Cauchy Integral Formula; Residue Theorem

復積分是研究解析函數的有力工具，能靈活運用各種方法計算復積分是很重要的.本文先系統介紹復積分的幾種常用計算方法，并以典型例題進行說明，方便能更靈活計算復積分。

1 復積分的幾種常用計算方法的介紹

1.1 參數方程法[1]

設C為一光滑或分段光滑曲線，其參數方程為：

z=z（t）=x（t）+iy（t），（a≤t≤b），

曲線C的起點對應參數t=a，C的終點對應t=b。設f（z）沿曲線C連續，則？蘩 f（z）dz=？蘩 ?f（z（t））z'（t）dt。

積分路徑C為開曲線或閉曲線，被積函數f（z）為解析函數或不解析函數，解題時，均可用參數方程法。運用此方法的解題步驟為：

第一步，畫積分路徑，并標明方向。

第二步，寫出積分路徑的參數方程，z=z（t）=x（t）+iy（t），（t：a→b）。

第三步，一代、二定限.將參數方程帶入被積表達式中，簡稱“一代”;確定積分的上下限，起點參數t=a對應下限，終點參數t=b對應上限，簡稱“二定限”。

1.2 Newton-Leibnitz公式[1]

積分路徑C為開曲線，在單連通區域D內，被積函數f（z）是解析函數，則積分結果與積分路徑C無關，只與C的起點z0、終點z1有關，若φ（z）是f（z）的一個原函數，則？蘩 ?f（z）dz=φ（z）| ?=φ（z ）-φ（z ）。

1.3 參數方程法的重要結論[1-2]

=2πi，n=0; 0， n≠0.

n為整數，積分路徑C是閉曲線，且是以z0為圓心，r為半徑的正向圓周，被積函數f（z）= 是分式形式，分子為1，在C所圍成的閉區域內只有一個奇點z=z0，且此唯一奇點恰好是C的圓心，解題時，如果符合此特征，可用此重要結論，根據n的情況，直接得結果.注意被積函數f（z）中n是以n+1的形式出現的。

1.4 Cauchy-Gusa定理[1]

在單連通區域D內，若函數f（z）是解析函數，C為D內任一條閉曲線，則 f（z）dz=0。

積分路徑C為閉曲線，被積函數f（z）是C內的解析函數，即被積函數在閉曲線C內無奇點時，可直接根據Cauchy-Gusa定理，判定積分結果為0。

1.5 Cauchy積分公式[1]

在區域D內，函數f（z）是解析函數，C為D內的正向簡單閉曲線，C所圍內部全含于D內，z0為C內部任一點，則f（z0）= ? dz。

實際求解復積分過程中，選擇Cauchy積分公式的變形 ?dz=2πi·f（z0）。積分路徑C為閉曲線，在C中被積函數g（z）= 只有一個一階極點z0，也就是說，當被積函數在閉曲線C中只有一個一階極點時，可選擇用Cauchy積分公式。運用此方法的解題步驟為：

第一步，變換被積函數g（z）的形式，區分分子和分母，將其表示為g（z）= 。首先確定g（z）在閉曲線C內的奇點，即為z0，則z-z0就是分母，剩下的就是分子，故g（z）= 。

第二步，代公式。

1.6 高階導數公式[1]

若區域D內的解析函數f（z）有各階導數，且有

f（n）（z0）= ? dz，（n=1，2，…），

其中C為區域D內任一條閉曲線，z0在C中。

在求解復積分過程中，同樣用的是高階導數公式的變形 ?dz= ·f（n）（z0）。積分路徑C為閉曲線，被積函數h（z）= 在C內有一個n+1階極點z0，即被積函數在閉曲線C內只有一個高階極點時，可用高階導數公式解題。運用此方法的解題步驟為：

第一步，變換被積函數h（z）的形式，區分分子和分母，將其表示為h（z）= 。首先確定h（z）在閉曲線C內的奇點，即為z0，則（z-z0）n+1就是分母，剩下的就是分子，故h（z）= 。

第二步，代公式。

1.7 復合閉路定理[1]

若f（z）在復合閉路C=C0+C ?+C ?+…+C ?及其所圍成的多連通區域內解析，則

f（z）dz= f（z）dz+ f（z）dz+…+ f（z）dz，

即 f（z）dz=0。

通俗的講，復合閉路定理就是沿外圈的積分等于沿內圈的積分之和。積分路徑C為閉曲線，被積函數f（z）在C內有兩個或兩個以上的奇點時，可先用復合閉路定理“挖奇點”，然后在選擇合適的閉曲線內只有一個奇點的方法（3）（5）（6）去做。

1.8 留數定理[1-3]

在區域D內，除有限個孤立奇點z1，z2，…，zn外，函數f（z）處處解析，C是D內的一條正向簡單閉曲線，上述n個孤立奇點在C中，那么

f（z）dz=2πi Re s[f（z），zk]。

積分路徑C為閉曲線，被積函數f（z）在C內有一個奇點或有多個奇點時，可用留數定理解題.運用此方法的解題步驟為：

第一步，找孤立奇點，并判斷孤立奇點的類型。

第二步，計算函數f（z）在各孤立奇點處的留數。

第三步，代公式。沿閉曲線C的積分等于C內各孤立奇點留數之和的2πi倍。

2 典型例題

例1計算積分？蘩 Im（z）dz，其中C為從原點（0，0）到（1，1）的直線段。

分析：積分路徑C為開曲線，可寫出其參數方程，且在復平面上，被積函數Im（z）處處不解析，因此只可選擇參數方程法。

解：積分路徑C如右圖1所示。

C的參數方程為z=t+it=（1+i）t，t：0→1。

故？蘩 Im（z）dz=？蘩 ?t·（1+i）dt=（1+i）？蘩 ?tdt

=（1+i）· | ?= 。

例2求積分？蘩 ?（2+iz）2dz的值。

分析：積分路徑C為開曲線，沒有具體的積分路徑，只是給出了它的起點1，終點i，在整個復平面上，被積函數（2+iz）2處處解析，所以積分結果與路徑無關，只與C的起點和終點有關，可用Newton-Leibnitz公式。

解：因為（2+iz）2在復平面上解析，故積分與路徑無關，可用Newton-Leibnitz公式來計算。

積分路徑C為開曲線時，常用復積分計算方法有兩種——參數方程法和Newton-Leibnitz公式.例1中的被積函數Im（z）在復平面上不解析，故只可選擇用參數方程法。而例2只給出積分路徑的起點和終點，特征明顯，只可選擇用Newton-Leibnitz公式。

例3計算積分 ?dz，其中C為|z|= 。

分析：積分路徑C為閉曲線，在復平面上，被積函數 有兩個一階極點z=0，z=- ，只有z=0在C內，如圖2所示.

法2（參數方程法的重要結論結合Cauchy-Gusa定理）

在內無奇點，所以 ?dz只能選擇用Cauchy-Gusa定理; 在C中只有一個奇點，恰好是圓心，且符合參數方程法的重要結論的被積函數的特征，所以 ?dz可以選擇用參數方程法的重要結論.

法3（Cauchy積分公式）

法4（留數定理）

令f（z）= ，則z1=0，z2=- 為f（z）的兩個一階極點.由圖2，容易看出zi=0位于C的內部。由留數定理，

法3（留數定理）

令f（z）= ，則z0= 為f（z）的一個二階極點。由圖3，容易看出z0= 位于C的內部。由留數定理，

f（z）dz=2πi·Res[f（z），z0]

又

Res[f（z）， ]= ?z- ?· = e =i

于是

dz=2πi·i=-2π

例5 求積分 ?dz的值，其中C為|z|=2。

分析：積分路徑C為閉曲線，在復平面上，被積函數 有一個二階極點z=0和一個一階極點z=1，且都在C內，如圖4所示。

解：

法1（參數方程法）

C的參數方程為z=2eiθ，θ：0→2π

故 ?dz=？蘩 ? ·2eiθdθ=…

此方法計算較繁瑣，選擇其他方法。

法2（復合閉路定理“挖奇點”）

在C內作兩個正向圓周C1和C2，它們即互不相交又互不包含的，C1中只含奇點z=0，C2中只含奇點z=1，如圖5所示，根據復合閉路定理，得

其中 在C1內有一個二階極點z=0，可用高階導數公式或留數定理，此處選擇用高階導數公式; 在C2內有一個一階極點z=1，可用Cauchy積分公式或留數定理，此處選擇用Cauchy積分公式，留數定理的應用見法3。故

dz= ?dz+ ?dz

= ?dz+ ?dz

= ·（ ）'|z=0+2πi· |z=1

= · |z=0-2πi

=-4πi

法3（留數定理）

令f（z）= ，則z1=0為f（z）的一個二階極點，z2=1為f（z）的一個一階極點.由圖4，容易看出z1=0和z2=1都位于C的內部.由留數定理，

f（z）dz=2πi Res[f（z），z ]

又

Res[f（z），0]= ?z · ?= ?=-1，

Res[f（z），1]= （z-1）· = ?=-1，

于是

dz=2πi·（-1-1）=-4πi

3 總結

復積分的常用計算方法有參數方程法、Newton-Leibnitz公式、參數方程法的重要結論、Cauchy-Gusa定理、Cauchy積分公式、高階導數公式、復合閉路定理、留數定理。通過例題我們發現，同一個問題有多種方法，正所謂“條條大路通羅馬”。因此，有必要用一條線將復積分的常用計算方法串起來，方便選擇。

1）當積分路徑C為開曲線時，可選擇參數方程法和Newton-Leibnitz公式，但需要注意的是Newton-Leibnitz公式要求被積函數是單連通區域內的解析函數，且往往使用此種方法的積分直接帶著積分限，比較好區分。

2）當積分路徑C為閉曲線時，根據C內奇點的個數劃分為：

被積函數

（1）若在C內無奇點，只能用Cauchy-Gusa定理。

（2）若在C內只有一個奇點，且：

①若此奇點為單階奇點，則可選擇用Cauchy積分公式和留數定理。

②若此奇點為高階奇點，則可選擇用高階導數公式和留數定理。

③若C是圓周，C內的唯一奇點恰好是圓心，被積函數f（z）= 是分式形式，分子為1，符合參數方程法的重要結論，也可選擇用此方法。

（3）若在內有兩個或兩個以上的奇點，可選擇先用復合閉路定理“挖奇點”，保證每個圓內只有一個奇點，再選擇合適的方法，亦可選擇直接用留數定理。

按照上述基本步驟來判斷尋找每個問題的計算方法，那么解決有關復積分的問題就會得心應手。

【參考文獻】

[1]《復變函數與積分變換》編寫組.復變函數與積分變換[M].北京：北京郵電大學出版社，2011.

[2]楊文鈺.淺析復積分的計算方法[J].科技視界，2018，21：149-150.

[3]岳紅云，劉功偉.淺析復積分的計算[J].數學學習與研究，2018，14：9.