探索性問題

山東省廣饒縣第一中學二校區 繆永春

探索性問題是相對于給出明確條件和結論的封閉性問題而言。探索性問題形式新穎、解法多樣，需要靈活綜合運用基礎知識、基本技能和數學思想方法，它的主要形式體現在以下幾種。

一、歸納型

例如：觀察下列各式：

①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1，

②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1。

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規律的等式，并證明你的結論。

分析：分別對兩式進行整理，tan10°tan20°+tan60°（tan20°+tan10°）=1，tan5°tan10°+tan75°（tan10°+tan5°）=1，由此可以看出具有兩角和的正切函數的特點，并且30°+60°=90°，75°+15°=90°，據此可得出相應的等式。

點評：解決這類問題關鍵是對于所學的公式及變形要有熟練的掌握程度，同時要對題目中相關的內容進行有效的整理并能發現其特點。

二、存在型

分析：本題主要考查一元二次函數在閉區間上的值域的求法，關鍵在于正確分清一元二次函數的對稱軸和區間的位置關系，確定函數的單調性求值域。

點評：本題利用函數的最值確定了對稱軸和區間的關系，使問題變得簡單。同時，解決存在型問題要注意以下三點：一是認真審題，明確目的。二是善于挖掘隱含條件，提高準確性。三是開闊思路，因題定法。

三、類比推理型

分析：首先利用綜合法證明結論正確，然后依據直角三角形與四面體之間形狀的對比猜想結論，并予以證明。

解：如圖1 所示，由射影定理知，AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=BC·DC，

圖1

圖2

∴猜想正確。

點評：類比推理是根據兩個對象有一部分屬性類比推出這兩個對象及其屬性為類似的一種推理方法。

四、條件探索型

分析：要證明線線垂直，往往需要轉化為線面垂直來進行證明。

圖3

點評：這類問題的解決需要添加的條件并不是唯一的，我們可以將結論當作已知條件，尋找能使該結論成立的條件，使得問題成立。