落實小學數學新課標的途徑：加強學科內涵素養培養

蒙惠芳 符方健 陳振華

[摘? ? ? ? ? ?要]? 統計與概率是小學數學教材中唯一研究不確定現象的內容。但是由于許多老師的統計與概率學科知識不扎實，加上一些陳舊思想的影響，導致本領域內容的教學難以達到新課標的要求。以通俗易懂的語言簡述概率統計的基本學科知識，使小學數學教師能站在更高層面理解統計與概率內容，提高統計與概率內容的教學實效。

[關? ? 鍵? ?詞]? 義務教育;新課程標準;概率統計;學科知識

[中圖分類號]? G623.5? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）10-0046-02

統計與概率是小學教材中的四大學習領域之一，但小學教師對統計與概率的理解程度如何呢？本人多次深入小學聽課或擔任比賽課評委，并與小學數學教師座談，發現問題多多，一些教師面對概率問題的理解時，僅看到隨機事件的表面，沒看到實質，沒看到隱藏在內面的規律性。新課程標準的十個核心概念中提出要培養學生的創新意識和應用能力，但如果老師對隨機性的內涵都理解不深，如何開展數學探究活動呢？如何培養創新意識和應用能力等核心素養呢？本文將結合概率統計學科理論知識，談談小學階段統計與概率的教學問題，以饗讀者。

一、正確認識統計與概率的關系

統計與概率兩者關系如何呢？統計是以概率為基礎，還是概率以統計為基礎呢？新課標修訂后，學生在第一階段不再學習概率，僅學習統計內容，主要理由是在基礎教育階段統計的重要性是大于概率的，正是基于此，大多數小學教師認為概率是以統計為基礎的。實際上，當前正邁向人工智能時代，人工智能就是要對歷史隨機大數據進行統計分析，找出大量隨機數據隱藏的內在規律，以概率說明隨機數據發生的可能性大小，從而作出決策。因此，對大數據進行分析時，需要利用概率理論知識進行推斷分析，沒有概率理論知識為基礎，是無法對大量隨機數據做出科學判斷的，因此統計是以概率為基礎的。在小學階段，因為我們涉及的數據是少量的，因此還沒體現出概率在統計分析中的作用。綜上可見，正確認識統計與概率的關系，對課堂教學具有非常積極的意義和作用。

二、整體認識事件

常言道，要給人一點水，自己必須有一桶水。小學教師對概率統計的教學，不能僅僅憑經驗、憑感覺，對教學教材上的內容要有一定的學科知識支撐。從事小學概率的教學，必須對事件概念有全面的認識。簡單來說，隨機事件就是試驗時可能產生的結果。不可再分的結果稱為基本事件，基本事件對應試驗的具體結果，基本事件不可能同時發生，基本事件發生的可能性是相等的，也稱為等可能性;由二個（含二個）以上的基本事件復合而成的結果稱為復合事件，復合事件可以分解為多個基本事件，復合事件是可以同時發生的。注意到，事件概念中加了“可能”二字。因為，概率統計的任務就是在試驗之前對某個結果在試驗中以多大可能性出現做預測，根據出現的可能性大小來指導決策的，也就是它是站在試驗之前來考量的。如果站在試驗之后去考量，那么只有兩種結果：要么發生（稱為必然事件，概率為1），要么不發生（稱為不可能事件，概率為0），這兩種情況都屬于確定性現象，沒有研究的必要。譬如以彩票開獎為例，假設昨天（假設是11日）已開出的四字彩大獎號碼為1234。今天（12日）來說，昨天11日開的七星彩大獎號碼為1234的概率為1（已開出，成為必然事件），但如果是站在10日前天來預測，昨天11日開的四字彩大獎號碼為1234的概率為1/10000（隨機事件）。顯然，11日開什么碼，只有在11日開獎之前去預測才有價值，12日去研究就沒有意義了。特別的由所有基本事件復合而成的復合事件是必然發生的，是必然事件。

三、正確認識概率概念與意義

概率是用來刻畫隨機事件發生的可能性大小的數量指標。隨機事件具有兩面性：表面上的偶然性與內部蘊涵著的必然性。在表面上是偶然性起作用的地方，這種偶然性始終受到內部隱藏著的規律支配，而問題只在于發現這種規律。實際上，在相同條件下，大量重復進行同一個隨機試驗時，其隨機事件的內部規律性是可以呈現出來的，概率統計的主要任務就是用數學的理論和方法揭示并研究隨機現象的這種統計規律性。注意到：隨機事件的統計規律性是在相同條件下進行大量試驗時才逐漸體現出來的，這從概率的統計定義及伯努利定理更能深刻認識。

定義1：設隨機事件A在那次重復試驗中發生了k次，則比值k/n稱為事件A在n次試驗中發生的頻率。

定義2：在一組不變的條件下，重復作n次試驗，設事件A在n次試驗中發生了k次。當試驗次數n增大時，如果頻率k/n穩定地在某一常數p的附近擺動，則稱此常數p為事件A發生的概率，記為P（A）=p.稱此概率為隨機事件A的統計概率。

由此可見，伯努利定理從理論上闡明了頻率的穩定性：只要隨機試驗的次數n充分大，事件A出現的頻率k/n與事件發生的概率P無限的接近，這就是統計概率的理論基礎。定義和定理為小學的驗證性試驗提供了方法論：試驗時得到的實際是事件A發生的頻率，只有進行很多很多次實驗時，頻率才接近概率。關于扔一個硬幣，觀察正反面出現的頻率情況，歷史上曾經有幾位著名的數學家做了試驗，結果如下：

由此可見，扔一個硬幣，觀察正反面出現的頻率情況，要進行成千上萬次的試驗其規律才呈現出來，才發現正面向上的頻率在1/2周圍波動不大，因此1/2代表正面向上的概率。關于小學生課堂上每個學生少量的試驗，是不足以發現這個規律的。課堂上，可以通過逐步把部分學生的試驗統計數目累加起來，當學生的人數逐步增多，試驗的總次數逐漸增大時，可以發現正面向上的頻率在1/2周圍擺動的幅度越來越小，這時才水到渠成地讓學生知道扔一個硬幣，正、反面向上的機會是一樣大的。

作為一名小學老師，對可能性大小的判斷，不能只通過做試驗來去認識，實際上，小學研究的概率是理論概率，試驗屬于驗證性的試驗，但課堂上的少量試驗是驗證不出來的。因此，小學教師應對理論概率有深入的理解，才能駕馭課堂試驗的開展，才能因勢利導，培養學生的探究能力和創新意識。小學研究的是簡單事件的概率問題，它實際上就是古典概型的概率。

定義3.設隨機試驗具有下面兩個特性：

（1）有限性：只有有限個不同的基本事件;

（2）等可能性：每個基本事件出現的可能性均等。

則稱這種隨機試驗模型為古典概型。在古典概型的隨機試驗中，隨機事件A發生的概率為

例2.隨機扔一個硬幣，求正面向上的概率。

解：隨機扔一個硬幣，基本事件為{正面向上}，{反面向上}，共有2個，其中{正面向上}是其中的一個，因此P=1/2.

例3.隨機扔2個硬幣，求兩個正面都向上的概率。

解：隨機扔2個硬幣，基本事件由（正、正）、（正、反）（反、正）（反、反）共四個，其中（正、正）占其中一個，因此兩個正面都向上的概率為1/4.

如果求出現一正一反的概率，則P=2/4=1/2.

四、結束語

根據我們多次深入小學對統計與概率內容的教學調研，發現許多老師對統計與概率內容的理解錯誤百出，深表痛心。本著對基礎教育的一片責任心，本文從統計與概率的學科知識方面給老師“補補短”，期望老師能科學對待統計與概率的教學，正確理解事件與概率，培養學生打破確定性思維，能用隨機思想正確分析簡單的不確定現象，達到新課標要求。

參考文獻：

[1]王元.高等數學基礎[M].人民教育出版社，2010.

[2]趙冬雪.探討新課標理念下小學數學的教與學[J].中國校外教育，2018（23）.

◎編輯 張 慧