隱函數圖像的疊加原理

吳金鵬

摘要：通過對部分隱函數方程及其圖像的研究，對簡單的二元隱函數進行分解，得到了一些在隱函數局部互不干涉的隱函數方程。并由這些方程得到了局部為n邊形的方程，以及扇形方程。最后利用求偏導的思想將部分二次、三次、四次隱函數方程的分解局部化，以便更直觀的展現隱函數圖像。

關鍵詞：隱函數;互不干涉;分解局部化;隱函數圖像

故事是從一個隱函數方程偶然得來的。

3x2+4xy+y2=0

配方、開方后可得y=3x或y=x。所得結果竟然是兩條不同的直線。其實在此之前，我們也遇到過類似的情形。如由雙曲線方程求其漸近線方程，若雙曲線方程為，求其漸近線方程，只需將等式右端變為零即可得到其漸近線方程。當然繼續對雙曲線漸近線方程分解。

（bx-ay）·（bx+ay）=0①

①式等價于bx-ay=0與bx+ay=0，分別為雙曲線的兩條漸近線方程。從①中可以看出，bx-ay=0與bx+ay=0是互不影響的兩個方程。若在①左端的基礎上再乘一個x-y，若a≠b，則該方程會形成一個三角形部分。

例：（2x-y）（x+y）（2x+y+1）=0，試畫出該方程的圖像。

繼續在方程左端乘上任意的f（x，y）=ax+by+c，且任意一項的斜率均不等。只要加以限定范圍，方程就可以表示出任意的n邊形。由此引出以下定理。

定理：若f1（x，y）=0，f2（x，y）=0，…fn（x，y）=0均為線性方程，且斜率不同，則F（x，y）=f1（x，y）·f2（x，y）…fn（x，y）=0，在定義域內為封閉圖形即為二維任意n邊形的方程。

當然我們也不必局限于線性方程，也可以非線性。例如我想把這個圖形用方程表示出來：

定義：若f1（x，y）=0，f2（x，y）=0，…fn（x，y）=0為任意隱函數方程，則F（x，y）=f1（x，y）·f2（x，y）·…fn（x，y）=0稱為二維分立方程。

由于分立方程的圖像是每個組成項的圖形直接組合，如果隱函數方程按乘積的形式在疊加，則稱所得的隱函數方程符合隱函數圖像的疊加。例如：圖中的方程為（x-a）2+（y-a）2=?a2，（x+a）2+（y-a）2=?a2，b2（x-a）2+a2y2-a2b2=0，|x|+|y|=a）求其整體的方程。

由隱函數圖像的疊加原理可知，整體的方程為

[2（x-a）2+2（|y|+a）2-a2]·[b2（x-a）2+a2y2-a2b2]·（|x|+|y|-a）=0

不過分立方程不僅僅是局限于二維的，是可以隨自變量的個數進行變化的，但同樣遵循隱函數圖像的疊加原理。例如x（x-1）=0，x=0，x=1。此時，方程的解為點，而x（y-1）=0，x=0，y=1，均表示為直線。（x-z）（y-1）=0，x=z，y=1均表示為面。

對于二元二次，三次，四次方程而言，可以固定x不變或y不變利用一元二次，三次，四次方程的求根公式將部分隱函數進行求解，整理成分立方程的形式。不過到五次方程時，由于沒有統一的求解公式，所以五次及以上的分立方程展開式會越發的復雜。每一項可能呈幾倍的速度進行增長，在此稱之為分立大爆炸。如（xy-sinx）·（x-lny）=0展開為x2-xylny-xsinx+sinx·lny=0，繼續在等式左端乘以一個f（x，y）=cosy-x，展開式變為x2ycosy-xcosy·sinx-x3y+x2sinx-xycosy·lny+cosy·sinx·lny+x2ylny-xsinx·lny=0方程變得十分復雜，而分立方程卻仍然很簡單。

參考文獻：

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[3]吳漢華.吳漢華.關于兩個隱函數的討論及圖象.《機械職業教育》，1994 （11）：26-27