四則運算之“序”的教學之“理”

徐宏臻

【摘? ?要】運用四則運算的計算次序規則，對于學生來說并不難。但要讓學生理解規則的合理性，教師應深入鉆研教材，理清教材的編排順序與知識的內在邏輯，使學生能知其然而且知其所以然。

【關鍵詞】四則運算;順序規則;教學

一、緣起

學校舉辦賽課活動，內容是蘇教版四年級上冊第七單元的“整數四則混合運算”例1（主題圖如圖1）。筆者發現，許多教師在引導學生分步列式的基礎上，啟發學生結合事理和數量關系列出綜合算式12×3+15×4或15×4+12×3，并確定先算什么，后算什么，最后算什么。許多教師教完例1后，就引導學生總結出混合運算的順序規則：在沒有括號的算式里，有乘、除法和加、減法，要先算乘、除法，再算加、減法。

接著教學“試一試”。“試一試”是計算150+120÷6×5，教材旁白：要先算什么呢？學生根據例1得出的運算順序規則，容易說出：在沒有括號的算式里，有乘、除法和加、減法，要先算乘、除法，再算加、減法。可是，緊接此后，教材又要求學生歸納和總結沒有括號的混合運算式題的運算順序。明明教師在教學例1時，已經得出了混合運算的順序規則，并且在“試一試”時又用到了這一規則，為什么教材這時又要求學生歸納和總結這一規則？教師這樣教是不是邏輯混亂、循環論證？評課時筆者提出這一問題，在場的三十多位教師無人答得上來。

無獨有偶，在另一次“同課異構”教學中，筆者又聽了兩節這樣的課，其中一節課同上所教。另一節課則在上課伊始，就通過復習三年級的混合運算順序，諸如200+100×5，200-100÷5等，引導學生得出上述混合運算的順序規則。接著，就讓學生直接運用這一規則進行計算。那么，執教者是否思考過教材編排的序及其邏輯聯系，究竟怎樣讓學生理解規則內在的“理”？

二、找序

蘇教版教材“混合運算”一詞首次出現是在三年級下冊第四單元，用三道例題教學“混合運算”，例1見圖2。教材聯系學生非常熟悉的購物情境，引導學生根據所求問題，列出數量關系式：3本筆記本的錢+1個書包的錢=一共要用的錢，或1個書包的錢+3本筆記本的錢=一共要用的錢。數量關系式極為重要，因為它指導著學生列分步算式和綜合算式及如何對綜合算式5×3+20或20+5×3進行計算，明確先算什么，再算什么，知道兩式都要先算乘法。在此基礎上，教師再引導學生歸納和總結出一條有關混合運算順序的規則：算式中有乘法和加、減法，應先算乘法。值得提出的是，混合計算只涉及三個數。

接著呈現例2（見圖3）。同樣在依據數量關系的基礎上，列出綜合算式，并得出另一條有關混合運算順序的規則，即算式中有除法和加、減法，應先算除法。最后例3教學有括號的算式的運算順序，列出綜合算式，并得出第三條混合運算順序的規則：算式里有括號，應先算括號里面的。

可見，三年級下冊教材并未歸納出“先乘除，后加減”這一規則，也沒有把乘、除法與加法混合在一起，或把乘、除法與減法混合在一起，更沒有把乘、除法與加、減法同時混合在一起。執教老師課前沒有理清教材編寫的“序”，想當然地超前了，把新知當成已知看待了。

蘇教版教材是在四年級上冊才進行綜合的（圖1）。教材用一道例題引入四個數的混合計算，如12×3+15×4，借助數量關系式，說明乘、加法混合仍然要先算乘法，再算加法，與三年級一樣。這時，教材并未要求學生歸納出混合運算的順序規則。接著，通過“試一試”，即計算150+120÷6×5，把乘、除法與加法混合在一起，并引導學生思考：要先算什么呢？引導學生根據已有的知識和經驗，類推出要先算乘、除法，再算加法，而這里乘、除法混合在一起，要按照從左往右的順序進行計算。在此基礎上，再引導學生歸納和總結出混合運算的順序規則：在沒有括號的算式里，有乘、除法和加、減法，要先算乘、除法，再算加、減法，即“先乘除，后加減”，原來如此！

三、明理

沒有括號的四個數的混合運算該怎么教，才能體現教材編寫的“序”，又能讓學生理解規則內在的“理”呢？請看以下教學片段。

【教學片段】

1.激活已知

分別說出下列各式的運算順序：200-100+50， 200÷100×50， 200+100×50， 200-100÷50。

待學生準確說出順序后，引導其回憶：算式中只有加、減法或只有乘、除法，要按從左往右的順序進行計算;算式中有乘法和加、減法，應先算乘法;算式中有除法和加、減法，應先算除法。

[設計意圖：課始復習三個數的混合運算有利于激活學生已有的知識和經驗，為學習新知奠基。]

2.探明算理

我們知道了無括號的三個數的混合運算的計算順序，那么，如果是四個數的混合運算，該按怎樣的順序進行計算呢？今天這節課我們就研究這個問題。

（1）出示主題圖（如圖1），引導學生說出條件和問題。

（2）引導學生依據事理說出并板貼下列數量關系式： 3副中國象棋的價錢+4副圍棋的價錢=一共要付的錢;4副圍棋的價錢+3副中國象棋的價錢=一共要付的錢。請大家算一算。

（3）交流反饋。

①展示分步列式，并讓學生依據上述數量關系式說出理由（過程略）。

②有列綜合算式的嗎？根據學生的交流，教師板書12×3+15×4，15×4+12×3。讓學生思考：在計算12×3+15×4時，應該先算什么，再算什么，最后算什么，教師板書12×3+15×4=36+15×4=36+60=96（元）。同樣，在計算15×4+12×3時，學生思考：應先算什么，再算什么，最后算什么，教師板書15×4+12×3=60+12×3=60+36=96（元）。有學生把兩個乘法算式同時計算，即12×3+15×4=36+60=96（元），則讓學生通過對比感悟到：在算3副中國象棋的價錢時，并不影響算4副圍棋的價錢，而且這樣計算更簡潔。

接著，教師讓學生觀察算式15+15+15+15+12+12+12，思考：如果要求這7個數的和，你認為怎樣算快些？學生普遍認為，先把4個15相加的和與3個12相加的和分別算出來，再把這兩個和相加，這樣快。于是，教師板書15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3。讓學生對比等式左右，明確在計算15×4+12×3時，應先算相同加數的和，即乘法。

筆者順勢引導學生把15+15+15+15-12-12-12改寫成15+15+15+15-（12+12+12）=15×4-12×3。學生發現，在計算15×4-12×3時，同樣應先算乘法，再算減法，即15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3=60-36=24。

（4）小結。觀察12×3 +15×4、15×4+12×3、15×4-12×3的計算順序，說說算式中有乘法和加、減法時，應先算什么，從而總結得出規則：算式中有乘法和加、減法，應先算乘法，與三個數的混合運算一樣。

[設計意圖：從現實生活中找原型，緊扣數量關系式，引導學生分步列式和列綜合算式，同時依據數量關系式確定和理解混合運算的順序。在此基礎上，為了讓學生從算理上進一步理解混合運算的順序規則，讓學生觀察等式15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3，以及15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3，讓學生從算理上明確先算乘法的合理性。]

（5）研究除法。買3副同樣的中國象棋要用36元，買4副同樣的圍棋要用60元。每副圍棋比每副中國象棋貴多少元？你能列出綜合算式并算一算嗎？

學生展示綜合算式并述理，教師板書60÷4-36÷3。學生思考應先算什么，再算什么，最后算什么。因為在算每副圍棋的價錢時，并不影響算每副中國象棋的價錢，所以兩個除法可以同時算，即60÷4-36÷3=15-12=3（元）。由此引導學生發現：算式中有除法和加、減法，要先算除法。讓學生練習計算60÷4+36÷3（略）。

[設計意圖：例題列舉了乘加的例子，沒有列舉乘減和除加（減）的例子，對小學生來說，要總結和概括混合運算的順序規則需要較為全面的例子。]

（6）小結規則。引導學生回顧15×4+12×3，15×4-12×3，60÷4-36÷3和60÷4+36÷3的計算過程，說說它們在運算順序上有何相同點，從而總結和概括出：算式中有乘法和加、減法，要先算乘法;算式中有除法和加、減法，要先算除法。

3.遷移運用

出示 “試一試”。計算240+60÷6×5，引導學生整體觀察和思考：應先算什么？學生說：根據前面的學習可知，乘法與加、減法在一起時，要先算乘法;除法與加、減法在一起時，要先算除法。因此這題應先算60÷6×5，再算加法，但這題乘、除法混在一起了，在先算60÷6×5時，要按照從左到右的順序進行計算。因此，這題應先算除法，再算乘法，最后算加法。

學生計算并交流，教師要注意糾正學生的三種錯誤，并找出出錯原因，讓學生感悟到運算順序的重要性。教師板書規范的計算格式（略）。讓學生練習計算240-60÷6×5（略）。

觀察240+60÷6×5和240-60÷6×5的計算過程，引導學生思考：一個算式里既有乘、除法，又有加、減法，應先算什么，再算什么？從而得出整數四則混合運算的順序規則（略），這就是四個數的混合計算在沒有括號時的運算順序規則。

[設計意圖：在學生得出乘加（減）、除加（減）算式的計算順序基礎上，讓學生計算“試一試”，并說理，旨在讓學生得出：在計算乘、除法與加、減法混合算式時，要先算乘、除法，再算加、減法。這樣，學生對規則不但知其然，而且知其所以然。]

4.鞏固練習（略）

教學中把三、四年級的教材有機地銜接起來，學生可以清晰地看到知識發展的脈絡，感受到教材編寫的“序”，同時學生能順利地運用已知探明新知，把新知牢牢地“嫁接”在已知這根“樁”上，形成一棵“知識樹”。這就是課標所說的：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性……”

（江蘇省高郵實驗小學? ? 225600）