梳理問題多元研究，追求“本質”探尋方向

余賢華 馮波濤 劉剛

“找次品”一課是人教版五年級下冊的一節智力思考的探究課。教師總想帶著學生奔著最佳方案去，那就是當一些物品中只有一個次品，且知道它比其他物品輕或重時，盡可能將待測物品分成最多只相差1的3份，且有2份數量相等。稱n次，可以從3n-1+1至3n個物品中找出這個次品。要真正在40分鐘內讓學生通過探究得出這一結論，確實有難度。

迷霧一：需要一架什么樣的天平？

找次品的題里幾乎都有這樣的字眼，“沒有砝碼的天平，次品稍重（輕）一些”。如果重（輕）相差很多，那天平就不需要了，直接用手掂一掂就可找出次品，天平的出場就沒有必要了。教師在課初都提出了這樣的問題，讓學生回答怎樣找出這個次品，學生說用掂一掂的方法。為什么天平不要砝碼？因為我們并不需要知道物品具體有多重，有砝碼每次只能稱1份物品，沒有砝碼每次至少能稱出2份物品，在分成3份時能準確地判斷這些物品中的唯一一個次品在哪1份中。關于對天平的認識，除了天平上，還有天平外。在本課的教學研究實踐中，一教師在介紹天平時，說了天平的左端，天平的右端，天平之外。如果能直接將待測物品所處的位置描述成左盤、右盤、外盤，并且在后來的探究中為什么分成3份，加以充分的利用，那就很容易成功了。我們甚至設想，如果另有一架特殊的天平，它有三個托盤，則每稱一次就可以從總數的四分之一（左右）中找到次品，那么稱n次就可以在4n-1+1至4n個物品中找到唯一的一個次品。

迷霧二：至少稱幾次就能保證找出次品是什么意思？

如何理解這句話，參與教學實踐的教師都會引導學生進行深入分析，并且在教學過程中不斷地進行強化。如一教師在讀題后，問：“你覺得哪些詞很重要？”然后逐一解釋。又如在學生說出5個產品中找次品時，可采用（2，2，1）的分法，稱一次就能找到次品，另一位教師追問：“一次可不可能找到呢？能不能保證？”第三位教師則通過創設情境，引導學生從81個玻璃球中找一個次品，學生回答可以分成（40，40，1），這樣稱一次就可以找到。該教師追問“這樣能保證嗎？”其他幾位教師也有同樣的追問，這樣可以讓學生較好地理解 “至少”“保證”等關鍵性的詞句。

迷霧三：怎樣清晰表達找次品的推理過程？

注重語言的規范化描述。參與教學實踐的教師在學生用語言描述時，對學生進行了有效的幫扶、更正。如一教師直接板書“如果……那么……”使學生能用規范化的語言描述推理過程。

注重通過動手操作、小組合作來清晰地呈現推理過程。教師都安排了小組討論的教學環節。還有幾位教師讓學生先用學具與同桌擺一擺，說一說，再讓學生用小磁片在黑板上演示推理過程，一邊擺一邊說，這些做法對明晰推理思路都能起到很好的作用。

注重過程的圖示表達。教師在教學中都用圖示的方式，清晰地表示了分組情況及操作流程，這樣能讓學生理清思路。如一教師板書，9→（3，3，3）→（1，1，1）=2次。另兩位教師則給物品編號，并畫圖表示過程。

迷霧四：為什么用三分法且盡可能平均分是這類找次品問題的最優方案？

采用三分法是我們找次品的工具——天平決定的。不用砝碼的天平，左盤、右盤都可以放置物品，還有在天平之外的物品，我們也可以稱之為外盤。每稱一次，讓沒有排除有次品嫌疑的所有物品，都成了待測對象，都可讓我們通過這一次稱重，對它們做出有沒有次品的判斷。因為只有1個次品，它必在三個盤的一個盤中，這樣我們就排除了三分之二（左右）的物品，只在剩下的三分之一（左右）的物品中找次品。如果采用四分法、五分法……每稱一次，僅能對左盤和右盤上的2份物品做出判斷，而其他幾份物品，在這一次稱重中并沒有接受有無次品的“審判”。對它們來說，這是一次無效稱重，因而肯定不是最優方案。如果一架特殊的天平有三個、四個托盤，則每稱一次就可排除四分之三（左右），五分之四（左右）的物品里有無次品，則每稱一次可以在更大范圍內找出次品。這里的天平只有兩個托盤，就要采用三分法。當然在數目很少時，是不能突顯三分法的優勢的，正如一些簡算方法，在數據較小時沒有什么優勢一樣。為什么要將3份盡可能平均分呢？我們知道，在數量越少的物品中找出一個次品越容易。所以每次稱重就要排除盡可能多的物品，在相對較少的物品中去找那1個次品。如果3份數目相差較多，排除的對象就不一定是最多的。如我們將25個物品分成8，8，9，稱一次就可以排除16個或17個物品不是次品;如果我們分成7，7，11，稱一次就可以排除14個或者18個物品不是次品。但是排除18個要有機遇，不是能保證的，能保證的只是排除14個，而按8，8，9的分法，可以保證至少排除16個。其實，分3份（使每份最多相差1），只是一種表象，其實質是要排除盡可能多的物品。

教師在撥開這層迷霧時，大多采用了列表的方式，從探究8個物品中找次品的不同分組方法中，來突顯三分法的優勢。8個物品中找1個次品，有效的分組方法有4種，從中得出三分法優于其他分法。這一點參與教學實踐的教師都做到了。但在進一步挖掘為什么盡可能平均分的實質上，有兩位教師要做得好一些，因為她們在引導學生分析這種方法時，強調了每種分組方式能排除多少個物品，這樣就能突顯采用三分法時為什么要盡可能平均分。

迷霧五：找次品蘊含的數學思想和方法有哪些？在教學中如何貫徹這些思想和方法？

1.符號化的思想。參與教學實踐的教師在這節課上很好地貫徹了符號化的思想。如用畫出的圖示表示天平，用數字編號代替物品，用圖示表示推理過程。

2.化繁為簡的思想。如一教師通過創設的情境讓學生從2187瓶糖中找出1瓶次品，另一位教師設置應聘題，讓學生從81個玻璃球中找1個次品，還有教師設置從27枚金幣中找1枚次品。先出示數據較大的問題，然后引導學生從數據較小的3個物品開始，找1個次品，都很好地貫徹了化繁為簡的思想。

3.推理的思想。如一教師引導學生用“如果……那么……”來描述推理的過程。另一位教師讓學生從稱一次可以從3個待測物品中找出1個次品，稱兩次可以從9個物品中找出1個次品，稱三次可以從27個物品中找出1個次品，進一步推出稱四次、五次、六次、七次，分別從81個、243個、729個、2187個待測物品中保證能找出1個次品。

4.優化的思想。優化的思想是找次品中最突出的思想，優化的思想已在前面的教學中有過滲透。學生在“烙餅問題”中，體會到最大限度地讓鍋里是滿的，在“打電話問題”中，體會到讓每一個接到通知的人1分鐘也不閑著，幫著完成打電話的任務，只有這樣才是最優方案。那么“找次品”時，就要讓學生體會每一次稱重都是對所有待測物品的一次鑒別，并盡可能將次品限制在最少的數量之中，那就是要排除盡可能多的物品里沒有次品。在這一點上，有兩位教師做得比較突出，她們在引導學生探究從8個物品中找次品中，從幾種不同的分組方法，強調第一次稱重排除了多個物品不是次品，排除的越多，剩下的越少，后面稱的次數也就應該最少。其他幾位教師只是從幾種分組中，引導學生發現三分法，并且每份最多相差1時，稱重次數最少，但對其實質沒有觸及。

當然，這節課鎖住那道霞光的不僅僅只是以上這幾層迷霧，還有要不要將實物天平引入課堂？要不要在找次品的第一節課就總結出規律？現行教材為什么在實驗教材的基礎之上進行了調整？等等。師生要沐浴在這重重迷霧后面的一縷陽光中，敢問路在何方？

（湖北省仙桃市新生街小學華數工作室? ?433000）